Issue ESAIM: PROC Volume 27, 2009 CANUM 2008 Page(s) 15 - 53 DOI 10.1051/proc/2009018 Published online 25 June 2009

ESAIM: Proc., 2009, Vol. 27, pp. 15-53
DOI: 10.1051/proc/2009018

A local adaptive refinement method with multigrid preconditionning illustrated by multiphase flows simulations.

Franck Boyer¹, Celine Lapuerta², Sebastian Minjeaud² and Bruno Piar<sup>2

1</sup>  Laboratoire d'Analyse, Topologie et Probabilités (LATP), Faculté des Sciences et Techniques de Saint-Jérôme - Case Cour A, Université Paul Cézanne, Avenue Escadrille Normandie-Niemen, 13397 MARSEILLE Cedex 20, France.
²  Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire (IRSN), DPAM/SEMIC/LIMSI, BP-3, 13115 Saint-Paul-lez-Durance, France.

fboyer@cmi.univ-mrs.fr
celine.lapuerta@irsn.fr
sebastian.minjeaud@irsn.fr
bruno.piar@irsn.fr

Published online: 25 June 2009

Abstract
The aim of this paper is to describe some numerical aspects linked to incompressible three-phase flow simulations, thanks to Cahn-Hilliard type model. The numerical capture of transfer phenomenon in the neighborhood of the interface require a mesh thickness which become crippling in the case where it is applied to the whole computational domain. This suggests the use of a local refinement method which allows to dynamically focus on problematic areas. The notion of refinement pattern, introduced for Lagrange finite elements, allows to build a conceptual hierarchy of nested conformal approximation spaces which is then used to implement the so-called CHARMS local refinement methods. Properties of these methods are proved ensuring in particular the conformity of approximation spaces at every time of simulations. Furthermore, the multilevel structure obtained by this method, is used to construct multigrid preconditioners. Finally, after a validation on a model problem, the performance of the whole method is illustrated on an example of a liquid lens spreading between two stratified fluids.

Résumé
L'objectif de l'article est de décrire certains aspects numériques liés à la simulation d'écoulements incompressibles à trois phases non miscibles, à l'aide de modèles à interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard. La capture numérique des phénomènes de transfert au voisinage des interfaces requiert une finesse de maillage qui devient rédhibitoire si elle est appliquée à l'ensemble du domaine de calcul. Ceci suggère l'utilisation de méthodes de raffinement local adaptatif qui permettent de se focaliser dynamiquement sur les zones sensibles. La notion de motif de raffinement, introduite pour des éléments finis de Lagrange, permet de construire une hiérarchie conceptuelle d'espaces d'approximation conformes emboîtés qui est alors utilisée pour mettre en oeuvre les techniques de raffinement local dites CHARMS. Les propriétés de la méthode sont prouvées assurant en particulier la conformité de l'espace d'approximation à tout instant des simulations. En outre, la structure multiniveaux obtenue par cette méthode est exploitée pour construire des préconditionneurs multigrilles. Enfin, après une validation sur un problème modèle, les performances de l'ensemble sont illustrées sur un exemple d'étalement d'une lentille piégée entre deux phases stratifiées.

© EDP Sciences, ESAIM 2009

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