Modélisation des dépressions corticales envahissantes et existence de fronts progressifs

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Issue		ESAIM: PROC Volume 27, 2009 CANUM 2008


Page(s)		90 - 106
DOI		10.1051/proc/2009021
Published online		25 June 2009

ESAIM: Proc., 2009, Vol. 27, pp. 90-106
DOI: 10.1051/proc/2009021

Modélisation des dépressions corticales envahissantes et existence de fronts progressifs

Guillemette Chapuisat

CMLA, ENS Cachan, CNRS, Pres UniverSud, 94235 Cachan, France

Published online: 25 June 2009

Abstract
Spreading depression is a transient depolarization of neurons that spreads slowly through a part of the brain during stroke, epilepsy or migraine with aura. They have been observed and studied in most animal species for more than 50 years, but their existence in the human brain is still discussed. Mathematical models of spreading depressions have been established; they are linked to a reaction-diffusion mechanism. After some numerical experiments, we have made the following hypothesis: The mecanisms that trigger spreading depressions are the same in the human brain as in the rodent brain for example, but the morphology of the human brain could explain the non-observation of these waves. Hence we have studied the following equation:

$\begin{displaymath}\partial _t u - \triangle u = \lambda u (u-\theta)(1-u) 1_{\vert z\vert<R} - \alpha u 1_{\vert z\vert\geq R} \end{displaymath}$

where $(x,z) \in \mathbb{R} ^N$ is the space variable. We have proved that if R is small enough, there is no travelling front solution of these equation. And if R is large enough, there exists a travelling front in the x-direction. This result is obtained by studying the energy of a solution with special initial conditions in several travelling referentials.

Résumé
Lors d'un accident vasculaire cérébral ou d'une migraine avec aura, des ondes de dépolarisation se propagent dans la substance grise du cerveau du rat. Le blocage de ces ondes est une cible thérapeutique importante, mais l'existence de ces ondes dans le cerveau humain reste à prouver. Les mécanismes sont pourtant identiques chez les deux espèces, ce sont des mécanismes de type réaction-diffusion. Notre hypothèse est que la morphologie du cerveau humain pourrait expliquer les difficultés d'observation de ces ondes, car elle limiterait leur propagation sur de longues distances. Après une courte introduction biologique, on explique la construction du modèle puis on présente différentes expériences numériques qui portent sur l'influence de la morphologie du cerveau sur la propagation des ondes de dépolarisation. On étudie ensuite plus en détails l'équation suivante:

$\begin{displaymath}\partial _t u - \triangle u = \lambda u (u-\theta)(1-u) 1_{\vert z\vert<R} - \alpha u 1_{\vert z\vert\geq R} \end{displaymath}$

où $(x,z) \in \mathbb{R} ^N$ , $x\in \mathbb{R}$ et $\lambda u (u-\theta)(1-u)$ est la non-linéarité bistable usuelle. Il s'agit donc d'une équation de réaction-diffusion sur un cylindre de rayon R couplée avec une équation de diffusion et absoption en dehors du cylindre. On démontre que pour R petit, il n'existe pas de front progressif solution de cette équation, mais que pour R grand, il existe un tel front. Pour cela, on étudie les différents profils asymptotiques possibles pour le front. Cela suffit à montrer la non-existence de front si R est petit. Ensuite pour construire un front progressif quand R est assez grand, on étudie l'énergie d'une solution avec une donnée initiale bien choisie dans différents référentiels en mouvement.

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