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ESAIM: Proc., 2008, Vol. 24, pp. 77-96
DOI: 10.1051/proc:2008031
Computable a posteriori error estimates in the finite element method based on its local conservativity: improvements using local minimization
Ibrahim Cheddadi1, Radek Fučík2, Mariana I. Prieto3 and Martin Vohralík41 Univ. Grenoble and CNRS, Laboratoire Jean Kuntzmann, 51 rue des Mathématiques, 38400 Saint Martin d'Hères & INRIA Grenoble-Rhône-Alpes, Inovallée, 655 avenue de l'Europe, Montbonnot 38334 Saint Ismier Cedex, France;
2 Department of Mathematics, Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering, Czech Technical University in Prague, Trojanova 13, 12000 Prague, Czech Republic;
3 Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Intendente Güiraldes 2160, Ciudad Universitaria, C1428EGA, Argentina;
4 UPMC Univ. Paris 06, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, 75005, Paris, France & CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, 75005, Paris, France;
ibrahim.cheddadi@imag.fr
fucik@fjfi.cvut.cz
mprieto@dm.uba.ar
vohralik@ann.jussieu.fr
Published online: 10 October 2008
Abstract
We investigate in this paper improvements of the
a posteriori error estimates in the finite element method
discretization of the Poisson equation, introduced in [M. Vohralík, A posteriori error estimation in the conforming finite element method based on its local conservativity and using local minimization, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), 687–690] and [M. Vohralík, Guaranteed and fully robust a
posteriori error estimates for conforming discretizations of
diffusion problems with discontinuous coefficients, submitted]. The
estimates presented in these references are guaranteed in the sense
that they feature no undetermined constants and fully computable
but numerical experiments show that the effectivity index, i.e.,
the ratio of the estimated and actual error, does not approach the
optimal value of one but rather a slightly bigger value. We
identify in this paper the reason for this and introduce a possible
remedy, which consists in performing a local minimization of the
values of the estimators over patches of simplicial submesh
elements. We then present a set of numerical
experiments showing the improvements achieved and compare our
estimators, both theoretically and numerically, with the classical
residual ones.
Résumé
Estimations d'erreur a posteriori
calculables pour la méthode des éléments finis basées sur
la conservativité locale de cette méthode : améliorations
employant une minimisation locale. Nous étudions dans cet
article des améliorations des estimations a posteriori pour la
discrétisation de l'équation de Poisson par la méthode des
éléments finis, introduites dans [M. Vohralík, A posteriori error estimation in the conforming finite element method based on its local conservativity and using local minimization, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), 687–690] et [M.
Vohralík, Guaranteed and fully robust a posteriori error
estimates for conforming discretizations of diffusion problems with
discontinuous coefficients, soumis]. Les estimations présentées
dans ces références sont garanties au sens où elles ne
comportent pas de constantes indéterminées et sont
entièrement calculables, mais des essais numériques montrent
que l'indice d'efficacité, donné par le rapport entre l'erreur
estimée et l'erreur exacte, n'approche pas la valeur optimale de
un mais une valeur légèrement plus élevée. Dans cet
article, nous en identifions la raison et nous introduisons une
correction basée sur une minimisation locale des valeurs des
estimateurs sur des ensembles de triangles ou de tétraèdres
d'un sous-maillage. Nous
présentons ensuite une série d'essais numériques et
comparons, tant du point de vue théorique que numérique, nos
estimations avec les estimations classiques par résidu.
© EDP Sciences, ESAIM 2008
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