Issue ESAIM: Proc. Volume 14, 2005 CEMRACS 2004 - Mathematics and applications to biology and medicine Page(s) 1 - 13 DOI http://dx.doi.org/10.1051/proc:2005001

ESAIM: Proc., September 2005, Vol. 14, pp. 1-13
DOI: 10.1051/proc:2005001

Adaptive simulation of hybrid stochastic and deterministic models for biochemical systems

Aurélien Alfonsi¹, Eric Cancès², Gabriel Turinici³, Barbara Di Ventura⁴ and Wilhelm Huisinga<sup>5

1</sup>  CERMICS, ENPC, 6-8 Avenue Blaise Pascal, Cité Descartes - Champs sur Marne, 77455 Marne la Vallée Cedex 2, France
²  CERMICS, ENPC, 6-8 Avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, 77455 Marne la Vallée Cedex 2, France, and INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, 78153 Le Chesnay Cedex, France
³  INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, 78153 Le Chesnay Cedex, France and CERMICS, ENPC, 6-8 Avenue Blaise Pascal, Cité Descartes, 77455 Marne la Vallée Cedex 2, France
⁴  Structural Biology and Biocomputing program, EMBL, Meyerhofstrasse 1, 69117 Heidelberg, Germany
⁵  Corresponding author: Free University Berlin, Department of Mathematics and Computer Science, Arnimallee 2-6, D-14195 Berlin/Germany, and DFG Research Center MATHEON, Berlin, huisinga@math.fu-berlin.de

Abstract
In the past years it has become evident that stochastic effects in regulatory networks play an important role, leading to an increasing in stochastic modelling attempts. In contrast, metabolic networks involving large numbers of molecules are most often modelled deterministically. Going towards the integration of different model systems, gen-regulatory networks become part of a larger model system including signalling pathways and metabolic networks. Thus, the question arises of how to efficiently and accurately simulation such coupled or hybrid systems. We present an algorithmic approach for the simulation of hybrid stochastic and deterministic reaction models that allows for adaptive step-size integration of the deterministic equations while at the same time accurately tracing the stochastic reaction events. We present a mathematical derivation of the hybrid system on the stochastic process level, and present numerical examples that outline the power of hybrid simulations.

Résumé
Au cours des dernières années, il est devenu clair que les effets aléatoires jouaient un rôle important dans les réseaux de régulation, et les modèles employés aujourd'hui pour décrire ces réseaux sont de nature stochastique. En revanche, les réseaux métaboliques, qui mettent en jeu un grand nombre de molécules, sont le plus souvent décrits par des modèles déterministes. Dans la modélisation de systèmes complexes, réseaux régulateurs de gènes, chemins de signaux et réseaux métaboliques sont intégrés dans un même modèle. Se pose alors la question de simuler efficacement et avec précision de tels modèles couplés (on parle aussi de modèles hybrides). Nous présentons ici une approche pour la simulation de modèles de réactions hybrides stochastiques/déterministes permettant à la fois d'avoir recours à des pas de temps adaptatifs dans l'intégration des équations déterministes et de simuler précisément les réactions décrites par des processus stochastiques. Des simulations numériques illustrent la puissance de ces simulations hybrides.

© EDP Sciences, ESAIM 2005

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