A posteriori error estimates for finite volume and mixed finite element discretizations of convection-diffusion-reaction equations

Abstract
We present in this paper a unified framework for a posteriori error estimation in the finite volume and lowest-order Raviart-Thomas mixed finite element methods. We consider convection-diffusion-reaction equations on simplicial meshes in two or three space dimensions and pay a particular attention to inhomogeneous and anisotropic diffusion-dispersion tensors and to convection dominance, in which case upwind-weighted schemes are considered. Our estimates are derived in the energy (semi-)norm for a locally postprocessed approximate solution preserving the finite volume/mixed finite element fluxes and are of residual type. They give a global upper bound on the error and are fully computable in the sense that all occurring constants are evaluated explicitly, so that they can serve both as indicators for adaptive refinement or for the actual control of the error. Local efficiency and semi-robustness in the sense that the local efficiency constant only depends on local variations in the inhomogeneities and anisotropies and becomes optimal as the local Péclet number gets sufficiently small can also be shown. Moreover, passing from their local to global computation, our estimates become asymptotically exact and asymptotically fully robust with respect to inhomogeneities and anisotropies. We finally present numerical experiments confirming their accuracy and briefly compare the results for the two methods.

Résumé
Nous présentons dans ce papier un cadre unifié pour des estimations a posteriori dans les méthodes des volumes finis et des éléments finis mixtes de Raviart-Thomas de plus bas degré. Nous considérons des équations de convection-diffusion-réaction sur de maillages de triangles ou de tétraèdres et nous nous concentrons en particulier sur des tenseurs de diffusion-dispersion inhomogènes et anisotropes et sur des problèmes dominés par la convection. Dans ce dernier cas, la pondération amont est supposée. Nos estimations sont de type résiduel, obtenues dans la (semi-)norme de l'énergie pour une approximation post-traitée localement et conservant les flux de la méthode des volumes finis ou celle des éléments finis mixtes, et elles représentent une borne supérieure globale de l'erreur. Nous avons évalué précisément toutes les constantes figurant dans nos estimations de telle sorte qu'elles soient utilisables non seulement comme des indicateurs de raffinement, mais aussi pour un véritable contrôle de l'erreur dans la solution numérique. On peut aussi montrer l'efficacité locale semi-robuste dans le sens que la constante d'efficacité locale ne dépend que des variations locales dans les inhomogénéités et anisotropies et devient optimale lorsque le nombre de Péclet local devient petit. De plus, passant de leur évaluation locale à leur évaluation globale, nos estimations sont asymptotiquement exactes et, vis-à-vis des inhomogénéités et des anisotropies, asymptotiquement robustes. Finalement, nous validons la précision de nos estimations par des essais numériques et comparons brièvement les deux méthodes considérées.