Discussion of a simple model of spreading depressions

Abstract
This paper is devoted to the study of a model of spreading depression (SD) which is a profound and transient depolarization of neurons. SD have a great importance in stroke or migraine with aura for example. Contrary to the rodent brain, SD have never been observed in the human brain. An explanation of this difference is proposed here by studying the influence of the geometry and composition of the brain. The model is derived from experimental observations and leads to a reaction-diffusion system that governs the ionic exchanges in calcium and potassium between the various cells of the brain and the extracellular space. Parameters of the model are fixed using a random algorithm that is explained here. Then the influence of geometry and composition of the brain is numerically studied.

Résumé
Les dépressions corticales envahissantes (DCE) sont des ondes de dépolarisation temporaire des neurones qui se propagent dans le cerveau à la suite d'une migraine avec aura, d'une crise d'épilepsie ou d'un accident vasculaire cérébral. Ces DCE sont connues depuis longtemps dans le cerveau du rongeur, mais n'ont pour l'instant jamais été observées chez l'homme. C'est pour essayer de comprendre la non-observation de ces ondes chez l'homme que nous avons développé un modèle mathématique de DCE. Les DCE sont liées à des concentrations ioniques anormales dans les diverses cellules du cerveau et dans l'espace extracellulaire. En suivant les observations de Nedergaard [3], nous avons construit un modèle simple de DCE basé sur les échanges ioniques en calcium et en potassium entre les différents compartiments du cerveau. On obtient un système de réaction-diffusion. Un problème est alors de déterminer les valeurs des paramètres du système. Les expériences étant souvent impossibles ou soumises à de fortes marges d'erreur, nous avons décidé d'utiliser un algorithme qui tire au hasard les paramètres du système, puis qui conserve les paramètres en mémoire si certaines propriétés qualitatives de la solution du modèle sont vérifiées. Une fois le modèle établi et validé, nous avons pu tester l'effet des différences de géométrie et de composition des cerveaux sur les DCE. En effet, le cerveau du rongeur est lisse et intégralement composé de matière grise (zone où se trouvent les corps des neurones), alors que le cerveau de l'homme a de nombreuses circonvolutions et est principalement composé de matière blanche avec une fine couche de matière grise à la périphérie. Comme la matière blanche ne contient pas de neurone, le modèle affirme que l'étape de réaction n'a pas lieu dans cette matière, les DCE y diffusent simplement et sont progressivement absorbées. On constate alors que si la couche de matière grise est fine, l'effet absorbant de la matière blanche empêche la création de DCE. D'autre part, une DCE stoppe sa progression à la première forte et brusque augmentation de l'épaisseur de la matière grise. Ainsi les différences de structure entre les cerveaux pourraient à elles-seules expliquer la non-observation des DCE.