Issue ESAIM: Proc. Volume 23, 2008 Mathematical and numerical modelling of the human lung Page(s) 10 - 29 DOI http://dx.doi.org/10.1051/proc:082302 Published online 26 July 2008

ESAIM: Proc., 2008, Vol. 23, pp. 10-29
DOI: 10.1051/proc:082302

Multiscale modelling of the respiratory track: a theoretical framework

C. Grandmont¹, B. Maury² and A. Soualah<sup>3

1</sup>  INRIA, Projet REO Rocquencourt, BP 105 78153 Le Chesnay Cedex, France
²  Laboratoire de mathématiques, Université Paris-Sud Bâtiment 425, bureau 130, 91405 Orsay Cedex, France
³  Laboratoire de mathéématiques , Université Paris-Sud Bâtiment 425, bureau 130, 91405 Orsay Cedex, France

Published online: 26 July 2008

Abstract
We propose here a decomposition of the respiratory tree into three stages which correspond to different mechanical models. The resulting system is described by the Navier-Stokes equation coupled with an ODE (a simple spring model) representing the motion of the diaphragm muscl. We prove that this problem has at least one solution locally in time for any data and, in the special case where the external forces are equal to zero and if the initial conditions are small enough, that the solution exists globally in time. Note moreover that, in the case where the spring stiffness is equal to zero, we obtain an existence result globally in time provided, once again, that the data are small enough. The behaviour of the global model is illustrated by two-dimensional simulations.

Résumé
Afin de décrire l'écoulement de l'air dans les voies aériennes supérieures et proximales, nous proposons un modéle multiéchelles basé sur la décomposition en trois régions de l'arbre trachéo-bronchique. Dans chacune de ces régions les comportements mécaniques sont différents. Les équations de Navier-Stokes décrivent l'écoulement de l'air dans la partie supérieure et elles sont couplées à une équation différentielle ordinaire modélisant le mouvement du diaphragme et du parenchyme pulmonaire. Pour ce systeme couplé nous démontrons l'existence de solutions faibles en temps petit pour données quelconques, ainsi que l'existence globale en temps dans le cas, très particulier, où la donnée initiale est suffisamment petite et où aucune force extérieure n'est appliquée au système. De plus, si la raideur du ressort modélisant l'élasticité du poumon est nulle, nous obtenons un résultat d'existence globale pour des données petites (conditions initiales et forces appliquées. Nous illustrons le comportement du modèle par des simulations numériques bi-dimensionnelles.

© EDP Sciences, ESAIM 2008

What is OpenURL?