Issue ESAIM: Proc. Volume 28, 2009 CEMRACS 2008 - Modelling and Numerical Simulation of Complex Fluids Page(s) 100 - 116 DOI http://dx.doi.org/10.1051/proc/2009041 Published online 23 November 2009

ESAIM: Proc., 2009, Vol. 28, pp. 100-116
DOI: 10.1051/proc/2009041

Polynomial Least-Squares reconstruction for semi-Lagrangian Cell-Centered Hydrodynamic Schemes

Gilles Carré¹, Stéphane Del Pino¹, Kirill Pichon Gostaf², Emmanuel Labourasse¹ and Alexander V. Shapeev<sup>3

1</sup>  CEA, DAM, DIF, F-91297 Arpajon, France.
²  Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 175 rue du Chevaleret, 75013 Paris.
³  Department of Mathematics, National University of Singapore, 2 Science Drive 2, Singapore 117543.

Published online: 23 November 2009

Abstract
In Inertial Confinement Fusion (ICF) simulation, use of Lagrangian hydrodynamic numerical schemes is a cornerstone. It avoids mixing of materials and allows for symmetry preservation in dimension two. Recently, [6] and then [8] proposed an interesting alternative to the historical VNR scheme [14]. These two first order schemes are multidimensional generalizations of the Godunov acoustic solver. Alternatively, a WENO Lagrangian scheme was proposed in [5]. This scheme suffers from non-preservation of symmetries and its velocity computation can be discussed.
The aim of this work is to evaluate the later scheme on ICF representative test cases and to derive a polynomial reconstruction that preserves symmetries for the three cell-centered scheme. This reconstruction is inspired by [11]. Since this paper focuses on the approximation of Euler equations, considered test cases are purely hydrodynamic and do not illustrate all difficulties encountered in ICF.
We first briefly recall different schemes used for this study. We then explain the Least-Squares ENO reconstruction that we chose for symmetry preservation and describe the limiting strategy. We finally illustrates the presented results by some representative numerical experiments.

Résumé
La simulation de Fusion par Confinement Inertiel (FCI) utilise souvent des schémas hydrodynamiques Lagrangiens. Cela permet d'éviter le mélange de matériaux et permet de préserver des symétries en dimension deux. Récemment, des alternatives intéressantes au schéma historique VNR [14] ont été proposées dans [6] puis dans [8]. Parallèlement, un schéma WENO a été proposé dans [5]. Ce schéma ne préserve pas les symétries et le calcul des vitesses peut être discuté.
L'objectif de ce travail est d'évaluer ce dernier schéma pour des cas tests représentatifs de la FCI et d'écrire une reconstruction polynomiale qui préserve les symétries pour les trois schémas étudiés. Cette reconstruction est inspirée de [11]. Puisqu'on se concentre ici sur la résolution des équations d'Euler, les cas tests présentés sont purement hydrodynamiques et ne prétendent pas couvrir l'ensemble des difficultés rencontrées en FCI.
Nous rappelons d'abord les différents schémas utilisés ici. Nous expliquons ensuite la reconstruction au sens des moindres carrés que nous avons choisie ainsi qu'une stratégie de limitation préservant aussi la symétrie. On illustre finalement les résultats au travers de quelques cas tests représentatifs choisis.

© EDP Sciences, ESAIM 2009

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