Monte Carlo methods for linear and non-linear Poisson-Boltzmann equation^*

¹ INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée, TOSCA project-team, 2004 route des Lucioles, BP. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France ;
mireille.bossy@inria.fr
² Université de Lorraine, Institut Elie Cartan de Lorraine, UMR 7502, Vandœuvre-lès-Nancy, F-54506, France; Nicolas.Champagnat@inria.fr — CNRS, Institut Elie Cartan de Lorraine, UMR 7502, Vandœuvre-lès-Nancy, F-54506, France — INRIA, TOSCA project-team, Villers-lès-Nancy, F-54600, France
³ CMAP, Ecole Polytechnique, CNRS, route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex - France
⁴ Aix-Marseille Université, CNRS, ENSAM,LSIS, UMR 7296, F-13397 Marseille — Université de Toulon, CNRS, LSIS, UMR 7296, F-83957 La Garde ;
maire@univ-tln.fr
⁵ INRIA Sophia Antipolis – Méditerranée, GEOMETRICA project-team, 2004 route des Lucioles, BP. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France

Abstract

The electrostatic potential in the neighborhood of a biomolecule can be computed thanks to the non-linear divergence-form elliptic Poisson-Boltzmann PDE. Dedicated Monte-Carlo methods have been developed to solve its linearized version (see e.g. [7], [27]). These algorithms combine walk on spheres techniques and appropriate replacements at the boundary of the molecule. In the first part of this article we compare recent replacement methods for this linearized equation on real size biomolecules, that also require efficient computational geometry algorithms. We compare our results with the deterministic solver APBS. In the second part, we prove a new probabilistic interpretation of the nonlinear Poisson-Boltzmann PDE. A Monte Carlo algorithm is also derived and tested on a simple test case.

Résumé

Le potentiel électrostatique autour d’une biomolécule peut être calculé grâce à l’équation de Poisson-Boltzmann, une EDP elliptique non-linéaire sous forme divergence. Des méthodes de Monte-Carlo, dédiées à sa version linéarisée, combinent la marche sur les sphères avec différents schémas de replacement à la frontière de la molécule (voir [7], [27]). La première partie de cet article est consacrée à l’étude et la comparaison de différentes méthodes de replacement pour l’EDP linéarisée, dans le cas de géométries réalistes de biomolécules. Dans la seconde partie, nous donnons une nouvelle interprétation probabiliste de l’EDP de Poisson-Boltzmann non linéaire. Nous en déduisons une méthode de Monte-Carlo originale qui est testée sur un cas test simple.