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ESAIM: ProcS
Volume 59, 2017
Thematic Cycle on Monte-Carlo techniques
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| Page(s) | 1 - 14 | |
| DOI | https://doi.org/10.1051/proc/201759001 | |
| Published online | 08 November 2017 | |
Ninomiya-Victoir scheme : Multilevel Monte Carlo estimators and discretization of the involved Ordinary Differential Equations *
1 Université Paris-Est, Cermics (ENPC), INRIA, F-77455, Marne-la-Vallée, France, anis.al-gerbi@cermics.enpc.fr, benjamin.jourdain@enpc.fr
2 Université Paris-Est, LAMA (UMR 8050), UPEMLV, UPEC, CNRS, F-77454, Marne-la-Vallée, France, emmanuelle.clement@u-pem.fr.
In this paper, we recall the result about the strong convergence rate of the Ninomiya-Victoir scheme and the properties of the multilevel Monte Carlo estimators involving this scheme that we introduced and studied in [2]. We are also interested in the error introduced by discretizing the ordinary differential equations involved in the Ninomiya-Victoir scheme. We prove that this error converges with strong order 2 when an explicit Runge-Kutta method with order 4 (resp. 2) is used for the ODEs corresponding to the Brownian (resp. Stratonovich drift) vector fields. We thus relax the order 5 needed in [11] for the Brownian ODEs to obtain the same order of strong convergence. Moreover, the properties of our multilevel Monte-Carlo estimators are preserved when these Runge-Kutta methods are used.
Résumé
Dans cet article, nous commençons par rappeler le résultat de convergence de l’erreur forte du schéma de Ninomiya-Victoir et les propriétés des estimateurs Monte-Carlo multipas utilisant ce schéma que nous avons introduits et étudiés dans [2]. Nous nous intéressons également à l’erreur introduite en discrétisant les Équations Différentielles Ordinaires qui figurent dans le schéma de Ninomiya-Victoir lorsque leur solution n’est pas explicite. Nous montrons que l’ordre de convergence forte de cette erreur est 2 lorsque les ÉDOs correspondant aux champs de vecteurs browniens (resp. à la dérive dans l’écriture Stratonovich de l’équation différentielle stochastique) sont discrétisées avec une méthode Runge-Kutta explicite d’ordre 4 (resp. 2). L’utilisation de ces méthodes de Runge-Kutta préserve les propriétés de nos estimateurs Monte-Carlo multipas.
© EDP Sciences, SMAI 2017
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