Duality methods for the study of Hamilton–Jacobi equations

¹ Université de Pau, Faculté des Sciences, Laboratoire de Mathématiques Appliquées, CNRS UMR  5142 Av. de l'Université 64000 PAU, France.
² Université d'Avignon, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques, 33 rue Louis Pasteur 84000 AVIGNON, France.

Abstract

We present a survey of recent results about explicit solutions of the first-order Hamilton–Jacobi equation. We take advantage of the methods of asymptotic analysis, convex analysis and of nonsmooth analysis to shed a new light on classical results. We use formulas of the Hopf and Lax–Oleinik types. In the quasiconvex case the usual Fenchel conjugacy is replaced by quasiconvex conjugacies known for some years and the usual inf-convolution is replaced by a sublevel convolution. Inasmuch we use weak generalized convexity and continuity assumptions, some of our results are new; in particular, we do not assume that the data are finite-valued, so that equations derived from attainability or obstacle problems could be considered.

Résumé

Nous présentons un survol de quelques résultats récents relatifs aux solutions explicites des équations d'Hamilton-Jacobi du premier ordre. Nous nous servons des méthodes de l'analyse asymptotique, de l'analyse convexe et de l'analyse non lisse pour apporter une lumière nouvelle sur des résultats classiques. Nous utilisons des formules de type Hopf et Lax-Oleinik. Dans le cas quasi-convexe, la conjugaison classique de Fenchel est remplacée par des conjugaisons connues depuis quelques années et l'inf-convolution est remplacée par la convolution en sous-niveaux. Comme nous faisons des hypothèses de convexité généralisée et de continuité assez générales, certains des résultats présentés sont nouveaux; en particulier, nous ne supposons pas que les données ne prennent que des valeurs finies, de sorte que des équations provenant de problèmes d'atteignabilité ou de problèmes d'obstacles pourraient être considérés.