Stabilité sous condition CFL non linéaire

¹ Laboratoire de Mécanique, Modélisation & Procédés Propres - UMR-6181 CNRS - IMT La Jetée, Technopôle de Château-Gombert, 38 rue Frédéric Joliot-Curie, 13451 Marseille Cedex 13, France
² CERFACS, 42, Avenue Gaspard Coriolis 31057 - Toulouse Cedex 01, France

Abstract

We present a basic althought little known numerical stability condition: for convection equations, the von Neumann stability constraint ∥u_n + 1∥_L² ≤ (1 + C   Δt) ∥u_n∥_L² drives to the stability condition Δt ≤ CΔx^α with $\mathit{\alpha }\mathrm{=}\frac{\mathit{p}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathit{q}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}{\mathit{q}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathit{p}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}$ where p is an integer linked to the stability domain of the time scheme and q ≥ p an integer linked to the upwind property of the space discretization (in the centered case we have q =  +∞ and $\mathit{\alpha }\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}\mathit{p}}{\mathrm{2}\mathit{p}\mathrm{-}\mathrm{1}}$).

Résumé

Nous présentons une étude de stabilité aux conclusions originales : pour les équations de convection, la contrainte ∥u_n + 1∥_L² ≤ (1 + C   Δt)∥u_n∥_L² fait apparaître la condition de stabilité Δt ≤ CΔx^α avec $\mathit{\alpha }\mathrm{=}\frac{\mathit{p}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathit{q}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}{\mathit{q}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathit{p}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}$ où p est un entier lié au domaine de stabilité du schéma en temps et q ≥ p un autre entier lié au caractère upwind de la discrétisation en espace (dans le cas centré, q =  +∞). Des exemples numériques montrent la pertinence de cette étude.