Séparation des échelles et schémas multiniveaux pour les équations d'ondes non-linéaires

¹ Laboratoire Paul Painlevé, UMR 8524, Université de Lille 1, France, and EPI SIMPAF INRIA Lille Nord Europe
² LAMFA, UMR 6140, Université de Picardie Jules Verne, Amiens, France and EPI SIMPAF INRIA Lille Nord Europe
³ Grimaag-Guadeloupe Campus de Fouillole B.P. 592 97157 Pointe à Pitre Cedex and Laboratoire de Mathématique, Université Paris 11, Orsay, France
⁴ Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Monastir, Boulevard de l'Environnement, 5000 Monastir, Tunisie

Corresponding authors: caterina.calgaro@univ-lille1.fr jean-paul.chehab@u-picardie.fr jacques.laminie@math.u-psud.fr

Abstract

In this work, we point out and apply some ideas for the numerical simulation by multilevel schemes of several wave equations including dispersive (Korteweg de Vries) and dissipative ones (Kuramoto-Sivashinski). We start from the approach developed for dissipative equations decomposing the solution into large (Y) and small (Z) scales, and we show that it is necessary to have a regularization in time to allow stable numerical treatment of Y and Z which are here generated using hierarchical processes such as Wavelets, Incremental Unknowns or Fourier.

Résumé

Nous proposons dans cet article de mettre en avant quelques idées pour la simulation numérique de plusieurs classes d'équations d'ondes dispersives (Korteweg de Vries) ou non (Kuramoto-Sivashinski) par des méthodes multiniveaux. Nous partons des idées initialement développées pour les équations dissipatives et en proposons une extension. Il en ressort que la présence d'une régularisation en temps est nécessaire pour pouvoir traiter de manière stable, et avec des schémas appropriés, les différentes échelles de la solution, préalablement générées à l'aide de méthodes hiérarchiques (inconnues incrémentales, ondelettes, Fourier).