High order numerical schemes for transport equations on bounded domains^*

¹ IRMAR (UMR CNRS 6625), Université de Rennes, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France
e-mail: benjamin.boutin@univ-rennes1.fr
² IRMAR (UMR CNRS 6625), Université de Rennes, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France
e-mail: thi-hoai-thuong.nguyen@univ-rennes1.fr
³ Institut Denis Poisson CNRS UMR 7013, Université de Tours, Faculté des Sciences et Techniques, Bâtiment E2, Parc de Grandmont, 37200 Tours, France
e-mail: Abraham.Sylla@lmpt.univ-tours.fr
⁴ École Normale Supérieure de Lyon, 15 parvis René Descartes, BP 7000, 69342 Lyon Cedex 07, France
e-mail: sebastien.tran-tien@ens-lyon.fr
⁵ Institut de Mathématiques de Toulouse; UMR5219, Université de Toulouse; CNRS, F-31062 Toulouse Cedex 9, France
e-mail: jean-francois.coulombel@math.univ-toulouse.fr

Abstract

This article is an account of the NABUCO project achieved during the summer camp CEMRACS 2019 devoted to geophysical fluids and gravity flows. The goal is to construct finite difference approximations of the transport equation with nonzero incoming boundary data that achieve the best possible convergence rate in the maximum norm. We construct, implement and analyze the so-called inverse Lax-Wendroff procedure at the incoming boundary. Optimal convergence rates are obtained by combining sharp stability estimates for extrapolation boundary conditions with numerical boundary layer expansions. We illustrate the results with the Lax-Wendroff and O3 schemes.

Résumé

Cet article est un compte-rendu du projet NABUCO réalisé au cours du CEMRACS 2019 qui était consacré aux fluides géophysiques et aux écoulements gravitaires. Le but est de construire des approximations par différences finies de l’équation de transport avec une condition d’entrée non-nulle qui donnent lieu au meilleur taux de convergence possible dans la norme de la convergence uniforme.

Nous construisons, implémentons et analysons la procédure, dite de Lax-Wendroff inverse, pour les mailles d’entrée. Des taux de convergence optimaux sont obtenus en combinant des estimations de stabilité fines pour les conditions d’extrapolation en sortie et des développements de type couche limite. Nous illustrons les résultats obtenus sur les schémas de Lax-Wendroff et O3.