Hybrid Multiscale Methods for Hyperbolic and Kinetic Problems

Department of Mathematics, University of Ferrara, Via Machiavelli 35, 44100 Ferrara Italy.

Corresponding author: pareschi@dm.unife.it

Abstract

In these notes we present some recent results on the development of hybrid methods for hyperbolic and kinetic equations with multiple scales. The main ingredients in the schemes are a suitable merging of particle methods in non stiff regimes with high resolution shock capturing techniques in stiff ones. The key aspect in the development of the algorithms is the choice of a suitable hybrid representation of the solution.
First, after a brief review on sampling methods and Monte Carlo techniques, we introduce the hybrid schemes for hyperbolic systems with relaxation and present numerical applications to the simple Jin-Xin relaxation model both in one and two space dimensions. Next, we show how to extend the above methodology to the case of kinetic models of BGK type and discuss the challenging case of the full Boltzmann equation. Some numerical results are also presented.

Résumé

Nous présentons dans ces notes quelques résultats récents concernant le développement de méthodes hybrides pour les équations hyperboliques et cinétiques. L'ingrédient principal de ces schémas réside dans un mélange pertinent de méthodes particulaires dans les régimes réguliers et de techniques haute résolution de capture de choc dans les zones raides. La clef du développement de ces algorithmes est donnée par le choix d'une bonne représentation hybride de la solution.
Après une brève revue des méthodes d'échantillonnage et des techniques Monte-Carlo, nous introduisons des schémas hybrides pour des systèmes hyperboliques avec relaxation et présentons des applications numériques pour le modèle de Jin-Xin, en dimension un et deux. Ensuite, nous montrons comment cette méthodologie s'étend à des modèles cinétiques de type BGK et discutons le cas délicat de l'équation de Boltzmann. Des résultats numériques sont aussi présentés pour ces situations.