Convergence of the Proximal Point Method for Metrically Regular Mappings

¹ Department of Statistics and Operations Research, University of Alicante, 03071 Alicante, Spain, This author is supported by Grant BES-2003-0188 from FPI Program of MEC (Spain).
² Mathematical Reviews, Ann Arbor, MI 48107, USA, .
³ Laboratoire AOC, Dpt. de Mathématiques, Université Antilles-Guyane, F-97159 Pointe-à-Pitre, Guadeloupe, . This author is supported by Contract EA3591 (France).

Abstract

In this paper we consider the following general version of the proximal point algorithm for solving the inclusion , where T is a set-valued mapping acting from a Banach space X to a Banach space Y. First, choose any sequence of functions with that are Lipschitz continuous in a neighborhood of the origin. Then pick an initial guess x₀ and find a sequence x_n by applying the iteration for We prove that if the Lipschitz constants of g_n are bounded by half the reciprocal of the modulus of regularity of T, then there exists a neighborhood O of ( being a solution to ) such that for each initial point one can find a sequence x_n generated by the algorithm which is linearly convergent to . Moreover, if the functions g_n have their Lipschitz constants convergent to zero, then there exists a sequence starting from which is superlinearly convergent to . Similar convergence results are obtained for the cases when the mapping T is strongly subregular and strongly regular.

Résumé

Nous considérons dans ces travaux une généralisation de l'algorithme du point proximal pour résoudre des inclusions du type , où T est une application multivoque agissant entre deux espaces de Banach X et Y. Tout d'abord, on se donne une suite de fonctions telle que chaque fonction g_n soit lipschitzienne dans un voisinage de l'origine et vérifie . Partant d'un point initial x₀ on construit une suite x_n en appliquant la procédure itérative for On montre que si les constantes de lipschitz des fonctions g_n sont bornées supérieurement par la moitié de l'inverse du module de régularité de T, alors il existe un voisinage O de ( étant une solution de ) tel que pour tout point initial on peut trouver une suite x_n engendrée par l'algorithme et qui converge linéairement vers . De plus, si la suite des constantes de lipschitz des fonctions g_n converge vers 0, alors il existe une suite partant du point et qui converge super-linéairement vers . Des résultats de convergence similaires sont obtenus quand l'application multivoque T est fortement sous-régulière et fortement régulière.