Solving the Uniform Density Constraint in a Stochastic Downscaling Model

¹ Grenoble High Magnetic Field Laboratory, 25 ave des Martyrs, 38042 Grenoble, Claire.Chauvin@grenoble.cnrs.fr.
² CEREMADE, Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris, France, sever@ceremade.dauphine.fr
³ Dpt of Applied Mathematics, Faculty of electrical engineering and informatics (FEI), VSB-Technical University of Ostrava, Tr. 17. listopadu 15, CZ 708 33 Ostrava-Poruba, Czech Republic, pavla.kabelikova@vsb.cz
⁴ INRIA, Team MOISE-LJK, 51 rue des mathématiques, 38041 Grenoble, France, Antoine.Rousseau@inria.fr
⁵ Centre d'Études Techniques de l'Équipement de Lyon, Laboratoire régional des ponts et chaussées, 8-10 rue Bernard Palissy Z.I. du Brézet, 63017 CLERMONT-FERRAND Cédex 2, Frederic.Bernardin@equipement.gouv.fr
⁶ INRIA, TOSCA Project, 2004 route des lucioles, 06902 Sophia Antipolis, France, Mireille.Bossy@inria.fr.

Abstract

The present work aims to contribute to the development of a numerical method to compute small scale phenomena in atmospheric models, getting rid of any mesh refinement. In a domain, typically a mesh of a numerical weather prediction model, we simulate some particles that are moved thanks to a Stochastic Lagrangian model adapted from the PDF methods proposed by S.B. Pope. We estimate the Eulerian values of the required fields, thanks to the computation of a local mean value over an ensemble of particles. We are thus using a stochastic particle method. At small scale, our atmospheric model imposes that the mass density ρ is constant in the domain. As a consequence, the particles have to be uniformly distributed at every time step of the particle method. We aim to use D.P. Bertsekas Auction Algorithm in order to move a given cloud of particles to a new position, which is also given in advance, and that realizes the constraint . Naturally, the transport cost will have to be minimum. This is a problem of 3D optimal transport, which is known to be difficult.

Résumé

Ce travail a pour cadre le développement d'une méthode de simulation d'écoulement atmosphérique aux petites échelles, réalisant des calculs sous-maille sans avoir besoin de raffiner le maillage. Dans un domaine, typiquement une maille d'un modèle numérique d'écoulement géophysique, on simule un ensemble de particules dont la dynamique suit un modèle stochastique lagrangien adapté des méthodes PDF proposées par S.B. Pope. On estime les valeurs eulériennes en moyennant localement les valeurs sur les particules. Il s'agit donc d'une méthode particulaire stochastique qui, on l'espère, sera comparable ou même meilleure, à des méthodes plus classiques de raffinement de maillage. Dans le domaine considéré, le modèle contraint la densité massique à rester constante. Cette contrainte se reporte sur la position des particules dont la distribution doit rester uniforme à chaque étape de la méthode particulaire. Le travaille présenté ici consiste à mettre en place l'algorithme des enchères (Auction Algorithm) développé par D.P. Bertsekas, pour permettre de déplacer les particules dans le domaine de calcul, en conservant leur distribution uniforme et en minimisant le coût de transport. Autrement dit, c'est un problème numérique de transport optimal 3D.