Shape derivative for a two-phase eigenvalue problem and optimal configurations in a ball

¹ CMM-DIM, FCFM, Universidad de Chile, CHILE;
² Departamento de Matemática, Universidad de Concepción, CHILE;
³ CMM-DIM, FCFM, Universidad de Chile, CHILE;

Corresponding authors: cconca@dim.uchile.cl rmahadevan@udec.cl lsanz@dim.uchile.cl

Abstract

In this article we deal with the problem of distributing two conducting materials in a given domain, with their proportions being fixed, so as to minimize the first eigenvalue of a Dirichlet operator. When the design region is a ball, it is known that there is an optimal distribution of materials which does not involve the mixing of the materials. However, the optimal configuration even in this simple case is not known. As a step in the resolution of this problem, in this paper, we develop the shape derivative analysis for this two-phase eigenvalue problem in a general domain. We also obtain a formula for the shape derivative in the form of a boundary integral and obtain a simple expression for it in the case of a ball. We then present some numerical calculations to support our conjecture that the optimal distribution in a ball should consist in putting the material with higher conductivity in a concentric ball at the centre.

Résumé

Cet article étudie le problème de la distribution optimale de deux matériaux conducteurs aux proportions fixes, de manière à minimiser la première valeur propre d'un opérateur de Dirichlet. Dans le cas d'une boule, on sait qu'il existe une distribution optimale dans laquelle les materiaux ne se melangent pas, mais cette configuration n'est pas connue explicitement. On développe une analyse de dérivée par rapport au domaine pour ce problème spectral à double face. On fournit des arguments analytiques et numériques pour renforcer notre conjecture selon laquelle la distribution optimale dans une boule consiste à placer le matériau à conductivité plus importante dans une autre boule centrée tout au milieu. Les expériences numériques mettent en évidence ce phénomène.