Multiscale expansion and numerical approximation for surface defects^⋆

¹ IRMAR - UMR6625, ENS Cachan Bretagne, Univ. Rennes 1, CNRS, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz, France
virginie.bonnaillie@bretagne.ens-cachan.fr
² Laboratoire Roberval - UMR6253, Université de Technologie de Compiègne, rue Personne de Roberval, BP 20529, 60205 Compiègne Cedex, France
delphine.brancherie@utc.fr
³ LMAP - UMR5142, Université de Pau et des Pays de l’Adour, av de l’Université, BP 1155, 64013 Pau Cedex, France
marc.dambrine@univ-pau.fr
⁴ Laboratoire de mathématiques Jean Leray - UMR6629, Université de Nantes, 2 rue de la Houssinière, BP 92208, 44322 Nantes Cedex 3, France
frederic.herau@univ-nantes.fr
⁵ INRIA - IPRA, Université de Pau et des Pays de l’Adour, av de l’Université, BP 1155, 64013 Pau Cedex, France
sebastien.tordeux@insa-toulouse.fr
⁶ Université de Lyon - CNRS UMR 5208, École Centrale de Lyon, Institut Camille Jordan, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex, France
gregory.vial@ec-lyon.fr

Abstract

This paper is a survey of articles [5, 6, 8, 9, 13, 17, 18]. We are interested in the influence of small geometrical perturbations on the solution of elliptic problems. The cases of a single inclusion or several well-separated inclusions have been deeply studied. We recall here techniques to construct an asymptotic expansion. Then we consider moderately close inclusions, i.e. the distance between the inclusions tends to zero more slowly than their characteristic size. We provide a complete asymptotic description of the solution of the Laplace equation. We also present numerical simulations based on the multiscale superposition method derived from the first order expansion (cf [9]). We give an application of theses techniques in linear elasticity to predict the behavior till rupture of materials with microdefects (cf [6]). We explain how some mathematical questions about the loss of coercivity arise from the computation of the profiles appearing in the expansion (cf [8]).

Résumé

Nous faisons ici une synthèse des articles [5, 6, 8, 9, 13, 17, 18]. On s’intéresse à l’influence de petites perturbations géométriques sur la solution de problèmes elliptiques. Les cas d’une inclusion isolée ou de plusieurs bien séparées ont été largement étudiés. Nous considérons plus précisément le cas où la distance entre deux inclusions tend vers zéro mais reste grande par rapport à leur taille caractéristique. Nous donnons un développement asymptotique multi-échelle complet de la solution de l’équation de Laplace dans la situation de deux inclusions. Nous présentons également quelques simulations numériques basées sur une méthode de superposition multi-échelle provenant du développement au premier ordre (cf [9]). Nous étendons ces techniques aux équations de l’élasticité linéaire afin de prédire le comportement à rupture de certains matériaux présentant des micro-défauts (cf [6]). Nous verrons également comment le calcul numérique des profils intervenant dans le développement asymptotique soulève des questions mathématiques liées à la perte de coercivité des problèmes approchés (cf [8]).