Existence and Convergence of an MHD Approximate Deconvolution Model

¹ Dipartimento di Matematica Applicata “U. Dini”, Università di Pisa, Via F. Buonarroti 1/c, I-56127 Pisa, ITALY,
berselli@dma.unipi.it, http://users.dma.unipi.it/berselli
² Dipartimento di Matematica, Università di Brescia, Via Valotti 9, I-25133 Brescia, ITALY,
davide.catania@ing.unibs.it, http://www.ing.unibs/davide.catania/
³ IRMAR, UMR 6625, Université Rennes 1, Campus Beaulieu, 35042 Rennes cedex FRANCE,
Roger.Lewandowski@univ-rennes1.fr, http://perso.univ-rennes1.fr/roger.lewandowski/

Abstract

We consider a Large Eddy Simulation (LES) model for the equations of Magnetohydrodynamics (MHD). We study an -model that is obtained by adapting to the MHD the approach by Stolz and Adams with van Cittert approximate deconvolution operators. We work with periodic boundary conditions and use the Helmholtz filter. We prove existence and uniqueness of a regular weak solution for a system with filtering and deconvolution in both equations. We show that when the deconvolution parameter goes to infinity, then the solution converges — in an appropriate sense — to the solution of the filtered MHD equations. These results can be extended to the problem with filtering acting only on the velocity.

Résumé

On considère un modèle pour la simulation des tourbillons à grande échelle pour les équations de la magnétohydrodynamique (MHD). On étudie un modèle alpha obtenu par la méthode de Stolz et Adams, qui utilisent des opérateurs de déconvolution à la van Cittert pour l’approximation des équations. On considère des conditions au bord périodiques et on utilise le filtre de Helmholtz. On montre l’existence et l’unicité d’une solution faible régulière pour un système avec filtre et déconvolution dans les deux équations. On montre aussi que la solution converge à la solution des équations filtrées de la MHD, au sens approprié, lorsque le paramètre de la déconvolution va à l’infini. On peut étendre ces résultats au problème avec le filtre seulment pour l’équation de la vitesse.