Mathematical framework for traction force microscopy

¹ CNRS / Univ. Grenoble 1, Laboratoire Interdisciplinaire de Physique, UMR 5588, Grenoble, F-38041, France.
² Dipartimento di Matematica, Politecnico di Torino, 10129 Torino, Italy.
³ Laboratoire de Mécanique des Solides, CNRS UMR 7649, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.
⁴ INSERM U823, Grenoble, France.
⁵ Univ. Grenoble 1, Institut Albert Bonniot et Institut Français du sang, UMR-S823, Grenoble, France.
⁶ MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano, Milano, Italy.

Abstract

This paper deals with the Traction Force Microscopy (TFM) problem. It consists in obtaining stresses by solving an inverse problem in an elastic medium, from known experimentally measured displacements. In this article, the application is the determination of the stresses exerted by a living cell at the surface of an elastic gel. We propose an abstract framework which formulates this inverse problem as a constrained minimization one. The mathematical constraints express the biomechanical conditions that the stress field must satisfy. From this framework, two methods currently used can be derived, the adjoint method (AM) and the Fourier Transform Traction Cytometry (FTTC) method. An improvement of the FTTC method is also derived using this framework. The numerical results are compared and show the advantage of the AM, in particular its ability to capture details more accurately.

Résumé

Cet article est consacré au problème de la Microscopie à Force de Traction (TFM). Ce problème consiste à déterminer les contraintes exercées par une cellule lors de sa migration sur un substrat élastique à partir d’une mesure expérimentale des déplacements induits dans ce substrat. Mathématiquement, il s’agit de résoudre un problème inverse pour lequel nous proposons une formulation abstraite de type optimisation sous contraintes. Les contraintes mathématiques expriment les constraintes biomécaniques que doit satisfaire le champ de contraintes exercé par la cellule. Ce cadre abstrait permet de retrouver deux des méthodes de résolution utilisées en pratique, à savoir la méthode adjointe (AM) et la méthode de Cytométrie de Traction par Transformée de Fourier (FTTC). Il permet aussi d’ameliorer la méthode FTTC. Les résultats numériques obtenus sont ensuite comparés et démontrent l’avantage de la méthode adjointe, en particulier par sa capacité à capturer des détails avec une meilleure précision.