Concentration phenomena in high dimensional geometry

Université Paris-Est Marne-la-Vallée, UMR CNRS 8050, France

Abstract

The purpose of this note is to present several aspects of concentration phenomena in high dimensional geometry. At the heart of the study is a geometric analysis point of view coming from the theory of high dimensional convex bodies. The topic has a broad audience going from algorithmic convex geometry to random matrices. We have tried to emphasize different problems relating these areas of research. Another connected area is the study of probability in Banach spaces where some concentration phenomena are related with good comparisons between the weak and the strong moments of a random vector.

Résumé

Le but de cette note est de présenter plusieurs aspects du phénomène de concentration en géométrie de grande dimension. Au cœur de l’étude figure un point de vue d’analyse géométrique provenant de la théorie des corps convexes en grande dimension. Ce thème a une large audience, allant de la géométrie convexe algorithmique à la théorie des matrices aléatoires. Nous avons tenté de mettre en avant les divers problèmes reliant les différents domaines de recherche. Un autre thème relié est celui des probabilités dans les espaces de Banach, dans lequel des phénomène de concentration de la mesure sont reliés à des comparaisons entre moments forts et faibles de vecteurs aléatoires.