Forward implied volatility expansion in time-dependent local volatility models^*,**,***

¹ CMAP, Ecole Polytechnique, Route de Saclay, 91128 Palaiseau cedex, France.
Email: romain.bompis@polytechnique.edu
² Markit, Ropemaker Place 25 Ropemaker Street London EC2YLY, UK.
Email: julien.hok@markit.com

Abstract

We introduce an analytical approximation to efficiently price forward start options on equity in time-dependent local volatility models as the forward start date, the maturity or the volatility coefficient are small. We use a conditional expectation argument to represent the price as an expectation of a Black-Scholes formula computed with a stochastic implied volatility depending on the value of the equity at the forward date. Then we perform a volatility expansion to derive an analytical approximation of the forward implied volatility with a precise error estimate. We also illustrate the accuracy of the formula with some numerical experiments. Some results and tools of this work were presented at the conference SMAI 2013 in the mini-symposium ”Méthodes asymptotiques en finance”.

Résumé

Nous introduisons une approximation analytique afin d’évaluer efficacement les options à départ différé dites forward start dans les modèles à volatilité locale qui dépend du temps quand la date forward, la maturité ou le coefficient de volatilité sont petits. Nous utilisons un argument d’espérance conditionnelle pour représenter le prix comme l’espérance d’une formule de Black-Scholes calculée avec une volatilité implicite stochastique qui dépend de la valeur de l’action à la date forward. Ensuite, nous effectuons un développement en volatilité pour obtenir une approximation analytique de la volatilité implicite forward avec une estimation précise de l’erreur. Nous illustrons également la précision de notre formule avec quelques expériences numériques. Certains résultats et outils de ce travail ont été présentés au congrès SMAI 2013 dans le mini-symposium ”Méthodes asymptotiques en finance”.