The embedding problem in iteration theory

Institute of Mathematics, Pedagogical University of Kraków, Poland,
email: mczdun@up.krakow.pl

Abstract

This is a survey paper on selected topics concerning the embeddability of given mappings in real flows. Particular attention will be paid to the relationship between the problem of the embeddability and functional equations.Let X be a real manifold and f:X → X be a homeomorphism. A family of homeomorphisms {f^t:X → X,t ∈ R} such thatf^t°f^s = f^{t + s} for t,s ∈ R and f¹ = f is said to be an embedding of f. The embedding is of class C^r if for every x ∈ X the mapping t → f^t(x) is continuous and all f^t are of class C^r. We concentrate on the cases where X is an open subset of R^N,X is a closed and an open interval, and X is a circle. We discuss the following problems: the existence of embeddings with suitable regularity; the conditions which imply the uniqueness of embeddings; the formulas expressing the above embeddings or their general constructions.

Résumé

Cet article est une revue de sujets choisis concernant le plongement des fonctions données dans des flots réels. L’attention particulière est prêtée aux relations entre le problème du plongement et des équations fontionnelles. Soit X une variété réelle et f:X → X un homéomorphisme. Une famille de homéomorphismes {f^t:X → X,t ∈R} telle que f^t°f^s = f^{t + s} pour t,s ∈R et f¹ = f est appelé une plongée de f. La plongée appartient à la classe de C^r si pour tout x ∈ X la fonction t → f^t(x) est continue et tout f^t appartient à la classe de C^r. Nous nous concentrons sur les cas dans lesquels X est un sous-ensemble ouvert de R^N, X est un intervalle fermé et ouvert et X est un cercle. Nous discutons les problèmes suivants : l’existence des plongées d’une régularité souhaitée, les conditions qui impliquent que ces plongées sont unique, les formules exprimant les plongées mentionnées ci-dessus ou leurs constructions générales.