Hastings-Metropolis algorithm on Markov chains for small-probability estimation^*,**

¹ Department of Statistics and Operations Research, University of Vienna, Oskar-Morgenstern-Platz 1, A-1090 Vienna
² When the work presented in this manuscript was carried out, the author was affiliated to CEA-Saclay, DEN, DM2S, STMF, LGLS, F-91191 Gif-Sur-Yvette, France and to the Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université Paris VII
³ Institut für Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin, Unter den Linden 6, D-10099, Berlin, Germany
⁴ Inria, Research Centre Rennes-Bretagne Atlantique, Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex France
⁵ Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex France

Abstract

Shielding studies in neutron transport, with Monte Carlo codes, yield challenging problems of small-probability estimation. The particularity of these studies is that the small probability to estimate is formulated in terms of the distribution of a Markov chain, instead of that of a random vector in more classical cases. Thus, it is not straightforward to adapt classical statistical methods, for estimating small probabilities involving random vectors, to these neutron-transport problems. A recent interacting-particle method for small-probability estimation, relying on the Hastings-Metropolis algorithm, is presented. It is shown how to adapt the Hastings-Metropolis algorithm when dealing with Markov chains. A convergence result is also shown. Then, the practical implementation of the resulting method for small-probability estimation is treated in details, for a Monte Carlo shielding study. Finally, it is shown, for this study, that the proposed interacting-particle method considerably outperforms a simple Monte Carlo method, when the probability to estimate is small.

Résumé

Dans les études de protection en neutronique, celles fondées sur des codes Monte-Carlo posent d’importants problèmes d’estimation de faibles probabilités. La particularité de ces études est que les faibles probabilités sont exprimées en termes de lois sur des chaines de Markov, contrairement à des lois sur des vecteurs aléatoires dans les cas les plus classiques. Ainsi, les méthodes classiques d’estimation de faibles probabilités, portant sur des vecteurs aléatoires, ne peuvent s’utiliser telles qu’elles, pour ces problèmes neutroniques. Un méthode récente d’estimation de faibles probabilités, par système de particules en intéraction, reposant sur l’algorithme de Hastings-Metropolis, est présentée. Il est alors montré comment adapter l’algorithme de Hastings-Metropolis au cas des chaines de Markov. Un résultat de convergence est ainsi prouvé. Ensuite, il est expliqué en détail comment appliquer la méthode obtenue à une étude de protection par Monte-Carlo. Finalement, pour cette étude, il est montré que la méthode par système de particules en intéraction est considérablement plus efficace qu’une méthode par Monte Carlo classique, lorsque la probabilité à estimer est faible.