An augmented Lagrangian approach to Wasserstein gradient flows and applications

¹ INRIA Paris, MOKAPLAN, rue Simone Iff, 75012, Paris, FRANCE and CEREMADE
² CEREMADE, UMR CNRS 7534, Université Paris IX Dauphine, Pl. de Lattre de Tassigny, 75775 Paris Cedex 16, FRANCE and MOKAPLAN

^* E-mail: Jean-David.Benamou@inria.fr
^** E-mail: carlier@ceremade.dauphine.fr

Abstract

Taking advantage of the Benamou-Brenier dynamic formulation of optimal transport, we propose a convex formulation for each step of the JKO scheme for Wasserstein gradient flows which can be attacked by an augmented Lagrangian method which we call the ALG2-JKO scheme. We test the algorithm in particular on the porous medium equation. We also consider a semi implicit variant which enables us to treat nonlocal interactions as well as systems of interacting species. Regarding systems, we can also use the ALG2-JKO scheme for the simulation of crowd motion models with several species.

Résumé

Profitant de la formulation dynamique Benamou - Brenier du transport optimal, nous proposons une formulation convexe pour chaque étape du schéma JKO pour les flots de gradient Wasserstein qui peut être attaqué par une méthode de Lagrangien augmenté que nous appelons ALG2 - JKO. Nous avons testé l'algorithme , en particulier sur l'équation des milieux poreux. Nous considérons également une variante semi-implicite qui nous permet de traiter des interactions non locales ainsi que des systèmes d'espèces en interaction. En ce qui concerne les systèmes, nous pouvons aussi utiliser ALG2 - JKO pour la simulation de modèles de mouvement de foule avec plusieurs espèces.