About the minimal time crisis problem ^*

¹ Institut de Mathématiques et Modélisation de Montpellier, UMR CNRS 5149, Université Montpellier, CC 051, 34095 Montpellier cedex 5, France. tbayen@math.univ-montp2.fr
² UMR INRA-SupAgro 729 ’MISTEA’ 2 place Viala 34060 Montpellier, France. rapaport@montpellier.inra.fr

Abstract

We study the minimization of the so-called time crisis function that represents the time spent by a solution of a controlled system outside a given set K. One essential feature of this optimal control problem is the discontinuity of the functional at the boundary of K. We provide in this paper properties of the time crisis function together with necessary optimality conditions using the hybrid maximum principle. We also study an approximation of this problem based on the Moreau-Yosida regularization of the indicator function of K.

Résumé

On s’intéresse à la minimisation du temps de crise qui représente le temps passé par une solution d’un système contrôlé à l’extérieur d’un certain ensemble K donné. Une des caractéristiques principales de ce problème est la discontinuité de la fonctionnelle à minimiser. Dans ce papier, on donne quelques propriétés du temps de crise ainsi que des conditions d’optimalité du premier ordre grâce au principe du maximum de Pontryagin hybride. On étudie également une approximation du problème de contrôle optimal en utilisant la régularisée de Moreau-Yosida de l’indicatrice de K.