Nonequivalence of Controllability Properties for Piecewise Linear Markov Switch Processes ^*

Université Paris-Est, LAMA (UMR 8050), UPEMLV, UPEC, CNRS, F-77454, Marne-la-Vallée, France,

E-mail: Dan.Goreac@u-pem.fr

Abstract

In this paper we study the exact null-controllability property for a class of controlled PDMP of switch type with switch-dependent, piecewise linear dynamics and multiplicative jumps. First, we show that exact null-controllability induces a controllability metric. This metric is linked to a class of backward stochastic Riccati equations. Using arguments similar to the euclidian-valued BSDE in [4], the equation is shown to be equivalent to an iterative family of deterministic Riccati equations that are solvable. Second, we give an example showing that, for switch-dependent coefficients, exact null-controllability is strictly stronger than approximate null-controllability. Finally, we show by convenient examples that no hierarchy holds between approximate (full) controllability and exact null-controllability. The paper is intended as a complement to [11] and [10].

Résumé

Nous étudions la propriété de zéro-contrôlabilité exacte pour une classe de processus de type Markovien à switch ayant des dynamiques linéaires par morceaux à coefficients switchés et bruit multiplicatif. Premièrement, nous montrons que la zéro-contrôlabilité exacte induit une métrique de contrôlabilité. Celle-ci est liée à une classe d’équations stochastiques rétrogrades de type Riccati. En employant des arguments similaires aus EDSR classiques ([4]), l’équation de Riccati se réduit à une famille d’équations itératives déterministes de type Riccati qui admettent une solution unique. Deuxièmement, nous présentons un exemple montrant que, pour des systèmes à coefficients switchés, la propriété de zéro-contrôlabilité exacte est strictement plus forte que celle de zéro-contrôlabilité approchée. Finalement, nous montrons, à l’aide d’exemples particuliers, l’impossibilité à établir une hiérarchie entre les propriétés de contrôlabilité approchée (vers une cible arbitraire) et celle de zéro-contrôlabilité exacte. Ce travail doit être regardé en complément des études menées dans [11] et [10].