From regression function to diffusion drift estimation in nonparametric setting

Université Paris Descartes, Laboratoire MAP5
e-mail: fabienne.comte@parisdescartes.fr

Abstract

We consider a diffusion model dX_t = b(X_t)dt + σ(X_t)dW_t,X₀ = η, under conditions ensuring existence, stationarity and geometrical β-mixing of the process solution. We assume that we observe a sample (X_kΔ)_0≤k≤n+1. Our aim is to study nonparametric estimators of the drift function b(.), under general conditions. We propose projection estimators based on a least-squares type contrast and, in order to generalize existing results, we want to consider possibly non compactly supported projection bases and possibly non bounded volatility. To that aim, we relate the model with a simpler regression model, then to a more elaborate heteroscedastic model, plus some residual terms. This allows to see the role of heteroscedasticity first and the role of dependency between the variables and to present different probabilistic tools used to face each part of the problem. For each step, we try to see the “price” of each assumption.

This is the developed version of the talk given in August 2018 in Dijon, Journées MAS.

Résumé

Nous considérons un modèle de diffusion dX_t = b(X_t)dt + σ(X_t)dW_t,X₀ = η, sous des conditions garantissant l’existence, la stationarité et le β-mélange géométrique du processus solution. Nous supposons que nous disposons d’observations (X_kΔ)_0≤k≤n. Notre objectif est d’étudier un estimateur nonparamétrique de la fonction b(.), sous des hypothèses générales. Nous proposons des estimateurs par projection, basés sur un contraste des moindres carrés. Afin de généraliser les résultats existants, nous voulons des jeux d’hypothèses autorisant des bases de projection à support non compact, ainsi que des fonctions de volatilité non bornées. Ainsi, nous relions le modèle de diffusion à un modèle plus simple de régression, puis à un modèle hétéroscédastique, plus des termes de reste. Cela nous permet de détailler le rôle de l’hétéroscédasticité puis de la dépendance, et de présenter les différents outils probabilistes utilisés pour affronter chaque problème. A chaque étape, nous étudions le prix des hypothèses.

Ceci est la version développée de l’exposé présenté en Août 2018 à Dijon, lors des Journées MAS.