Direct and indirect methods to optimize the muscular force response to a pulse train of electrical stimulation

¹ Univ. Bourgogne Franche-Comté, ImViA Laboratory EA 7535, Dijon, France
e-mail: toufik.bakir@u-bourgogne.fr
² Univ. Bourgogne Franche-Comté, IMB Laboratory UMR CNRS 5584, Dijon, and INRIA team Mc TAO, Sophia Antipolis, France
e-mail: Bernard.Bonnard@u-bourgogne.fr
³ XLIM Research Institute, UMR CNRS 7252, University of Limoges, Limoges, France
e-mail: loic.bourdin@unilim.fr

Abstract

Recent force-fatigue mathematical models in biomechanics [7] allow to predict the muscular force response to functional electrical stimulation (FES) and leads to the optimal control problem of maximizing the force. The stimulations are Dirac pulses and the control parameters are the pulses amplitudes and times of application, the number of pulses is physically limited and the model leads to a sampled data control problem. The aim of this article is to present and compare two methods. The first method is a direct optimization scheme where a further refined numerical discretization is applied on the dynamics. The second method is an indirect scheme: first-order Pontryagin type necessary conditions are derived and used to compute the optimal sampling times.

Résumé

En biomécanique les modèles mathématiques de force-fatigue de la réponse musculaire aux impulsions électriques [7] permettent de prédire et de contrôler la réponse à un train de stimulations électriques et donc de maximiser la force produite à la fin du train. Mathématiquement les stimulations sont des impulsions de Dirac dont on peut moduler les temps d’applications et les amplitudes, le nombre d’impulsions étant physiquement limité sur le train et le modèle conduit à un problème où le contrôle est de dimension fini. L’objectif de ce travail est de présenter deux méthodes d’optimisation en vue de les comparer. La première méthode est dite directe et l’on utilise une discrétisation numérique de la dynamique pour transformer le problème d’optimisation en un probléme en dimension finie. La seconde méthode dite indirecte utilise le principe du maximum de Pontriaguine dans le contexte où le contrôle est de dimension finie et on établit des conditions nécessaires d’optimalité qui peuvent être implémentées numériquement pour calculer les temps d’impulsions optimaux.