High order numerical methods for Vlasov-Poisson models of plasma sheaths

¹ Institut de Mathématiques, CNRS, UMR 5251, Université de Bordeaux, France
² Nantes Université, CNRS, Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, LMJL, UMR 6629, F-44000 Nantes, France
³ École européenne de Bruxelles 1, Belgique
⁴ Nantes Université, CNRS, Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, LMJL, UMR 6629, F-44000 Nantes, France
⁵ Inria (Mingus team), IRMAR UMR 6625 and ENS Rennes, Univ Rennes, France
⁶ I2M, CMI, UMR 7373, Aix-Marseille Université, France
⁷ LMI (EA 3226 - FR CNRS 3335), INSA de Rouen, France
⁸ Labo. J. A. Dieudonné, UMR 6621, Université Nice-Sophia Antipolis, France

Abstract

This article is a report of the CEMRACS 2022 project, called HIVLASHEA, standing for ”High order methods for Vlasov-Poisson models for sheaths”. A two-species Vlasov-Poisson model is described together with some numerical simulations, permitting to exhibit the formation of a plasma sheath. The numerical simulations are performed with two different methods: a first order classical finite difference (FD) scheme and a high order semi-Lagrangian (SL) scheme with Strang splitting; for the latter one, the implementation of (non-periodic) boundary conditions is discussed and different solvers for the electric field are compared. The codes are first evaluated on a one-species case, where an analytical solution is known. For the two-species case, cross-comparisons are performed and the numerical convergence of the SL method is investigated. The use of high order method is emphasized in this context. The (parallel) SL code turns out to be a robust tool to provide reliable numerical approximations of sheath stationary solution with realistic physical parameters.

Résumé

Cet article est un rapport du projet CEMRACS 2022, appelé HIVLASHEA, pour “Méthodes d’ordre élevé pour les modèles Vlasov-Poisson de gaines“. Un modèle Vlasov-Poisson à deux espèces est décrit accompagné de quelques simulations numériques, permettant de mettre en évidence la formation d’un plasma gaine. Les simulations numériques sont réalisées avec deux méthodes différentes : une méthode classique du premier ordre, un schéma aux différences finies (FD) et un schéma semi-lagrangien (SL) d’ordre élevé avec splitting de Strang ; pour ce dernier cas, la mise en œuvre de conditions aux limites (non périodiques) est discutée et différents solveurs pour le domaine électrique sont comparés. Les codes sont d’abord évalués sur un cas mono-espèce, où une solution analytique est connue. Pour le cas de deux espèces, des comparaisons croisées sont effectuées et la convergence numérique de la méthode SL est étudiée. L’utilisation d’une méthode d’ordre élevé est soulignée dans ce contexte. Le code SL (parallèle) s’avère être un outil robuste pour fournir des données numériques fiables d’approximations de solution stationnaire de gaine avec des paramètres physiques réalistes.