Discrete Besov framework for finite volume approximation of the p-laplacian on non-uniform cartesian grids

¹ Département de Mathématiques, Université de Franche-Comté, 16 route de Gray, 25030 Besançon Cedex, France
² Laboratoire d'Analyse, Topologie et Probabilités, 39 rue F. Joliot Curie, 13453 Marseille Cedex 13, France

Corresponding authors: borisa@math.univ-fcomte.fr fboyer@cmi.univ-mrs.fr fhubert@cmi.univ-mrs.fr

Abstract


This work addresses the problem of a priori error analysis for the finite volume approximation of solutions of the p-laplacian on cartesian grids. We first recall the way we constructed such schemes and the different error bounds we proved in our previous works. Then we concentrate particularly on the case where the exact solution has only weak regularity properties (which are natural for this problem) of Besov kind with derivation index in between 1 and 2. In this framework, the usual techniques to obtain error estimates for finite volumes schemes are not straightfoward to apply. Hence, we propose to take advantage of the variational structure of the equation and the schemes in order to obtain the error bounds. In the case of uniform meshes, this strategy was succesfully applied in [2] to obtain optimal estimates. We propose in this work to extend this approach to a more general family of quasi-uniform meshes.


Résumé


Ce travail concerne l'analyse d'erreur a priori pour l'approximation par une méthode de volumes finis des solutions du p-laplacien sur un maillage cartésien. Nous commençons par rappeller la construction de tels schémas et les différents résultats obtenus dans nos travaux antérieurs. On s'intéresse ensuite à l'analyse d'erreur dans le cas où la solution exacte possède seulement des propriétés de régularité assez faibles (naturelles pour le problème étudié) de type Besov d'indice de dérivation strictement compris entre 1 et 2. Dans ce cadre, les méthodes usuelles d'estimation d'erreur sont difficilement applicables. On propose donc de profiter de la structure variationnelle de l'équation et des schémas pour obtenir les bornes souhaitées. Sous la restriction de l'uniformité des maillages, cette approche a été utilisée avec succès dans [2] pour obtenir des estimations optimales. Nous présentons, dans ce travail, l'extension de la méthode à une famille plus générale de maillages quasi-uniformes.