Précision d'un schéma adaptatif semi-lagrangien pour l'équation de Vlasov

IGPM, RWTH, 56062 AACHEN, ALLEMAGNE

Abstract

In this talk, I present an adaptive semi-lagrangian scheme recently developed in collaboration with Michel Mehrenberger for approximating the solutions to the Vlasov-Poisson equation, and where the main feature consists in a new algorithm for transporting the multiscale meshes along the numerical flow. While reasonably simple, the algorithm we propose allows to transport “at first guess” the numerical solution to a given nonlinear transport problem, and the adaptive mesh on which this solution is computed. Moreover, this evolution is done in a way that is in some sense optimal, since on an analytical perspective, the accuracy of the solutions is established, together with a (still incomplete) bound on the complexity of the meshes. First proposed and analyzed in the article [3], then roughly described in a previous proceeding [5], this scheme was also given a detailed presentation in my PhD dissertation [4], in french. I shall here follow the latter and consider some “abstract”, Vlasov-type problem which properties will first be recalled. I will then describe our algorithm for transporting the multiscale meshes, and explain how its main properties enter the error analysis of the numerical scheme.

Résumé

Dans cet exposé, je présente un schéma adaptatif semi-lagrangien développé récemment avec Michel Mehrenberger pour approcher les solutions de l'équation de Vlasov-Poisson, où l'ingrédient principal consiste en un nouvel algorithme qui transporte les maillages multi-échelles le long du flot numérique. Tout en étant relativement simple, notre algorithme permet en effet de transporter “du premier coup” la solution numérique du problème de transport non-linéaire et le maillage adaptatif sur lequel cette solution est calculée. Ceci en garantissant d'une part la précision des solutions, d'autre part l'optimalité des maillages ainsi construits, du moins dans une certaine mesure. D'abord proposé et analysé dans l'article [3], puis décrit de façon plus rapide dans la note [5], ce schéma a également fait l'objet d'une présentation détaillée dans ma thèse [4]. C'est essentiellement l'articulation de cette dernière que je suivrai ici, en considérant un problème de transport “abstrait” de type Vlasov dont j'énoncerai les principales propriétés. Je décrirai ensuite comment notre algorithme transporte les maillages adaptatifs multi-échelles, et j'indiquerai de quelle façon ses propriétés interviennent dans l'analyse d'erreur du schéma numérique global.