Une introduction au schéma de Boltzmann sur réseau

Conservatoire National des Arts et Métiers, Département de Mathématiques, 292 rue Saint Martin, 75141 Paris Cedex 03 et Université Paris Sud, Laboratoire de Mathématique, Analyse Numérique et Équations aux Dérivées Partielles, Bâtiment 425, 91405 Orsay, France.

Abstract

We propose an elementary introduction to the lattice Boltzmann scheme. We recall the physical (Boltzmann equation) and algorithmic (cellular automata) origins of this numerical method. For a one-dimensional example, we present in detail the two characteristic steps of the algorithm: the nonlinear collision step, local in space and the linear propagation phase with the neighbouring vertices, explicit in time. We then propose a generic Taylor-type development with the so-called equivalent partial differential equation. We obtain in this way formally a so-called Chapman-Enskog development where the small parameter is the discretization step of the scheme. At order zero, the lattice Boltzmann scheme satisfies a local thermodynamical equilibrium. At first order, it satisfies the Euler equations of gas dynamics and at second order the Navier-Stokes equations. Then we detail the classical case of the nine velocities model on a square lattice.

Résumé

Nous proposons une introduction élémentaire au schéma de Boltzmann sur réseau. Nous rappelons les origines physiques (équation de Boltzmann) et algorithmiques (automates cellulaires) de cette méthode numérique. Pour un exemple monodimensionnel, nous présentons en détail les étapes caractéristiques de l'algorithme : phase de collision, locale en espace et non linéaire et phase de propagation avec les proches voisins, explicite en temps et linéaire. Nous proposons ensuite un développement de Taylor générique à l'aide de la méthode de l'équation aux dérivées partielles équivalente. Nous obtenons ainsi de manière formelle un développement “de type Chapman-Enskog” du schéma où le petit paramètre est simplement le pas de discrétisation. A l'ordre zéro, le gaz sur réseau est à l'équilibre thermodynamique, à l'ordre un, il vérifie les équations d'Euler de la dynamique des gaz et à l'ordre deux les équations de Navier Stokes. Enfin, nous détaillons le cas classique du modèle à neuf vitesses sur une grille carrée.