Following red blood cells in a pulmonary capillary

Laboratoire MSC, Université Paris 7 / CNRS, 10 rue Alice Domon et Léonie Duquet, F-75205 Paris cedex 13

Abstract

The red blood cells or erythrocytes are biconcave shaped cells and consist mostly in a membrane delimiting a cytosol with a high concentration in hemoglobin. This membrane is highly deformable and allows the cells to go through narrow passages like the capillaries which diameters can be much smaller than red blood cells one. They carry oxygen thanks to hemoglobin, a complex molecule that have very high affinity for oxygen. The capacity of erythrocytes to load and unload oxygen is thus a determinant factor in their efficacy. In this paper, we will focus on the pulmonary capillary where red blood cells capture oxygen. In order to numerically study the behavior of red blood cells along a whole capillary, we propose a camera method that consists in working in a reference frame that follows the red blood cells. More precisely, the domain of study is reduced to a neighborhood of the red blood cells and moves along at erythrocytes mean velocity. This method avoids too large mesh deformation. Our goal is to understand how erythrocytes geometrical changes along the capillary can affect its capacity to capture oxygen.
The first part of this document presents the model chosen for the red blood cells along with the numerical method used to determine and follow their shapes along the capillary. The membrane of the red blood cell is complex and has been modelled by an hyper-elastic approach coming from [Mills J.P. et al., MCB, vol. 1, no. 3, pp. 169-180, 2004]. This camera method is then validated and confronted with a standard Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) method in which the displacements of the red blood cells are correlated with the deformation of an initial mesh of the whole capillary with red blood cells at start positions. Some geometrical properties of the red blood cells observed in our simulations are then studied and discussed.
The second part of this paper deals with the modeling of oxygen and hemoglobin chemistry in the geometries obtained in the first part. We have implemented a full complex hemoglobin behavior with allosteric states inspired from [Czerlinski G. et al., J. Theor. Biol., vol. 199, pp. 25-44, 1999].

Résumé


Les globules rouges ou érythrocytes sont des cellules biconcaves et sont formées d'une membrane contenant le cytosol, fluide ayant une grande concentration en hémoglobine. Cette membrane est très déformable et permet à ces cellules de traverser des passages étroits comme les capillaires dont les diamètres sont souvent plus petits que ne l'est le diamètre des globules rouges. Les érythrocytes transportent l'oxygène dans l'organisme grâce à la proteine d'hémoglobine qui dispose d'une grande affinité pour l'oxygène. La capacité des globules rouges à capturer et libérer l'oxygène est ainsi un facteur déterminant de leur efficacité. Dans cet article, nous nous restreindrons à l'étude d'un capillaire pulmonaire où les globules rouges capturent l'oxygène. Nous développons une méthode de caméra de façon à étudier numériquement le comportement de globules rouges le long d'un capillaire. Cette méthode consiste à travailler dans un référentiel qui suit les globules rouges. Plus précisément, le domaine d'étude est réduit à un voisinage des globules rouges et se déplace le long du capillaire à la vitesse moyenne des érythrocytes. Cette méthode permet d'éviter de trop grandes déformations au maillage. Notre but est de mieux comprendre comment les éythrocytes se déforment au long du capillaire et comment cela affecte leur capacité à capturer l'oxygène. 
La première partie de ce document présente le modèle que nous avons choisi pour représenter le globule rouge, ainsi que la méthode numérique utilisée pour déterminer et suivre la forme du globule le long du capillaire. La membrane du globule rouge est complexe et a été modélisée par une approche hyper-élastique issue de [Mills J.P. et al., MCB, vol. 1, no. 3, pp. 169-180, 2004]. La méthode de caméra est ensuite validée et confrontée à une méthode ALE (Arbitrairement Lagrangienne Eulerienne) standard, dans laquelle le déplacement des globules rouges est corrélé à la déformation d'un maillage initial de tout le capillaire où les globules rouges sont à leurs positions de départ. Enfin, quelques propriétés géométriques du globule rouge résultant de nos simulations sont étudiées.
La deuxième partie de ce papier traite de la modélisation de la chimie entre l'hémoglobine et l'oxygène dans des géométries issues de la première partie. Un modèle complet du comportement de l'hémoglobine a été implémenté, en particulier faisant intervenir deux états allostériques des molécules d'hémoglobine. Ce modèle s'inspire de [Czerlinski G. et al., J. Theor. Biol., vol. 199, pp. 25-44, 1999].