Stochastic and deterministic models for age-structured populations with genetically variable traits

¹ Laboratoire Ecologie & Evolution, CNRS UMR 7625, Ecole Normale Supérieure, 46 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France
² Department of Ecology and Evolutionary Biology, University of Arizona, Tucson AZ 85721, USA
³ Laboratoire Paul Painlevé, UFR de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France.

Corresponding author: chi.tran@math.univ-lille1.fr

Abstract

Understanding how stochastic and non-linear deterministic processes interact is a major challenge in population dynamics theory. After a short review, we introduce a stochastic individual-centered particle model to describe the evolution in continuous time of a population with (continuous) age and trait structures. The individuals reproduce asexually, age, interact and die. The 'trait' is an individual heritable property (d-dimensional vector) that may influence birth and death rates and interactions between individuals, and vary by mutation. In a large population limit, the random process converges to the solution of a Gurtin-McCamy type PDE. We show that the random model has a long time behavior that differs from its deterministic limit. However, the results on the limiting PDE and large deviation techniques à la Freidlin-Wentzell provide estimates of the extinction time and a better understanding of the long time behavior of the stochastic process. This has applications to the theory of adaptive dynamics used in evolutionary biology. We present simulations for two biological problems involving life-history trait evolution when body size is plastic and individual growth is taken into account.

Résumé

Nous illustrons ici certaines interactions entre processus probabilistes et déterministes en dynamique des populations. Après une courte revue, nous introduisons un modèle particulaire stochastique individu-centré pour décrire l'évolution en temps continu d'une population structurée en age (continu) et en trait. Les individus se reproduisent de façon asexuée, vieillissent, interagissent et meurent. Le trait est une propriété de l'individu mesurée par un vecteur de dimension d ; le trait est héritable et peut influencer les taux de naissance et de mort ainsi que les interactions entre individus. Par mutation, le trait peut varier entre parent et enfant. Dans une limite de grande population, notre processus aléatoire converge vers la solution d'une EDP du type Gurtin-McCamy. Nous montrons que le comportement en temps long du processus aléatoire diffère de celui de sa limite déterministe. Cependant, les deux types de modèles sont complémentaires : les résultats sur l'EDP limite et des techniques de grandes déviations à la Freidlin-Wentzell, nous fournissent des estimées du temps d'extinction et une description précise du comportement en temps grand de notre processus aléatoire, avec des applications à la théorie des "dynamiques adaptatives". Nous présentons ensuite sur des simulations deux problèmes biologiques liés aux conséquences de plasticité de la taille lorsque la croissance individuelle est prise en compte, ainsi qu'à l'évolution des stratégies d'histoire de vie.