Probabilistic and Piecewise Deterministic models in Biology

¹ MISTEA, INRA, Montpellier SupAgro, Univ. Montpellier, France.
² INRA, UR MaIAGE, domaine de Vilvert, Jouy en Josas, France.
³ Institut de Mathématiques de Bordeaux, Inria Bordeaux-Sud-Ouest, France.
⁴ Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique (UMR CNRS 7350), Fédération Denis Poisson (FR CNRS 2964), Université François-Rabelais, Parc de Grandmont, 37200 Tours, France.
⁵ CMAP, École Polytechnique, Université Paris-Saclay, Palaiseau, France.
⁶ Physiologie de la Reproduction et des Comportements, Institut National de la Recherche Agronomique (INRA) UMR85, CNRS-Université François-Rabelais UMR7247, IFCE, Nouzilly, 37380 France

Abstract

We present recent results on Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs), involved in biological modeling. PDMPs, first introduced in the probabilistic literature by [30], are a very general class of Markov processes and are being increasingly popular in biological applications. They also give new interesting challenges from the theoretical point of view. We give here different examples on the long time behavior of switching Markov models applied to population dynamics, on uniform sampling in general branching models applied to structured population dynamic, on time scale separation in integrate-and-fire models used in neuroscience, and, finally, on moment calculus in stochastic models of gene expression.

Résumé

Nous présentons des résultats récents sur les Processus de Markov Déterministes par Morceaux (PDMPs) utilisés en modélisation en biologie. Les PDMPs, introduits pour la première fois dans la littérature probabiliste par [30], forment une classe générale de processus de Markov et sont de plus en plus populaires dans les applications en biologie. Ils fournissent également de nouveaux défis intéressant du point de vue théorique. Nous donnons ici différents exemples sur le comportement en temps long de modèles de Markov modulés appliqués à la dynamique des populations, sur le tirage uniforme dans des modèles génériques de branchement appliqués à la dynamique de populations structurées, sur les séparations d’échelles de temps dans des modèles intègre-et-tire utilisés en neuroscience, et, finalement, sur le calcul de moments dans des modèles stochastiques d’expression des gènes.