How to predict accurate wavelet grids in adaptive semi-Lagrangian schemes?

Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA), CNRS & Université de Strasbourg, 67084 Strasbourg, France

Abstract

In this article I present a new adaptive semi-Lagrangian scheme based on wavelet approximations for solving transport equations with underlying smooth flow. Inspired by the method of Besse, Filbet, Gutnic, Paun and Sonnendrücker [1], this new approach differs in the fact that it is mostly driven by the notion of good adaptation of a wavelet tree to a given function. Moreover it comes with guaranteed error estimates.
In a previous joint work with Mehrenberger [3], we had designed a first adaptive semi-Lagrangian scheme based on multilevel, hierarchical meshes. The method consisted in predicting a new adaptive mesh for every time step by using a low-cost strategy, and next readapt it once according to the smoothness of the transported numerical solutions. By a rigorous analysis we could prove that our scheme had a prescribed accuracy, achieved by applying the prediction and correction algorithms only once per time step.
The present scheme implements similar ideas, but now in the framework of interpolatory wavelets. For this purpose I translate the property of being (strongly) well-adapted to a given function in the context of wavelet trees, and show that it is (weakly) preserved by a low-cost prediction algorithm which transports wavelet grids along any smooth flow. As a consequence, error estimates can be established for the resulting “predict and readapt” scheme under the essential assumption that the flow underlying the transport equation, as well as its numerical approximation, is a stable diffeomorphism. One complexity result is stated in addition. The proofs can be found in the lecture notes [2].

Résumé

Je présente dans cet article un nouveau schéma semi-Lagrangien à base d'ondelettes pour l'approximation de problèmes de transport associés à des flots réguliers. Cette méthode s'inspire de celle proposée par Besse, Filbet, Gutnic, Paun et Sonnendrücker [1], mais s'en distingue notamment par le fait qu'elle s'articule autour de la notion de bonne adaptation d'un arbre d'ondelettes à une fonction donnée. De plus, elle s'accompagne d'une estimation d'erreur a priori.
Dans un travail précédent effectué en collaboration avec Mehrenberger [3], nous avions conçu un premier schéma adaptatif semi-Lagrangien basé sur des maillages multi-échelles et hiérarchiques. Notre méthode consistait à prédire un nouveau maillage à chaque pas de temps par une stratégie peu coûteuse, puis à le réadapter suivant la régularité de la solution numérique transportée. Par une analyse rigoureuse, nous avions établi qu'une simple application de notre algorithme de prédiction et de correction suffisait à garantir une estimation d'erreur a priori. 
Le schéma présenté ici met en œuvre des idées semblables, mais dans un cadre différent. La propriété d'être (fortement) bien adaptaté à une fonction donnée est donc redéfinie pour des arbres d'ondelettes, et l'on peut montrer qu'elle est (faiblement) préservée par une stratégie de prédiction, toujours peu coûteuse, qui transporte les grilles d'ondelettes le long de flots réguliers. En conséquence, il est possible d'établir une estimation d'erreur a priori pour ce nouveau schéma de “prédiction et réadaptation”, sous l'hypothèse principale que le flot sous-jacent, ainsi que son approximation numérique, est un difféomorphisme stable. Un résultat partiel concernant la complexité des grilles obtenues est également énoncé. Les preuves correspondantes sont disponibles dans les notes de cours [2].