Two local time stepping schemes for parabolic problems

¹ IFP, Département Mathématiques Appliquées, 1 et 4 avenue de Bois-Préau, 92852 Rueil-Malmaison, France. e-mail: isabelle.faille@ifp.fr, francoise.willien@ifp.fr
² Laboratoire J.-L. Lions, CNRS UMR7598, Université Pierre et Marie Curie, France. e-mail: nataf@ann.jussieu.fr
³ Institut des Sciences de la Terre de Paris - CNRS UMR 7193, Université Pierre et Marie Curie, France. e-mail: sylvie.wolf@upmc.fr

Abstract

We present a strategy for solving time-dependent problems on grids with local refinements in time using different time steps in different regions of space. We propose two conservative approximations based on finite volume with piecewise constant projections and domain decomposition techniques. Next we present an iterative method for solving the composite-grid system that reduces to solution of standard problems with standard time stepping on the coarse and fine grids. At every step of the algorithm, conservativity is ensured. Finally, numerical results on parabolic and a two-phase flow problems illustrate the accuracy of the proposed methods.

Résumé

Nous présentons une stratégie avec raffinement local en temps pour la résolution de problèmes instationnaires où des pas de temps différents sont utilisés dans différentes régions de l'espace. Nous proposons deux approximations conservatives basées sur une méthode de Volumes Finis associée à une approche de type décomposition de domaine avec projection sur les fonctions contantes par morceaux. Nous présentons ensuite une méthode itérative pour résoudre le problème algébrique discret qui se ramène à des résolutions standards dans les différentes régions à petits ou grands pas de temps. A chaque étape de la méthode itérative, la conservation est assurée. Nous montrons des résultats numériques pour une équation parabolique et un système d'équations de type mixte parabolique-hyperbolique modélisant un écoulement diphasique en milieu poreux.