Wavelet regularization of a Fourier-Galerkin method for solving the 2D incompressible Euler equations

¹ Laboratoire de Météorologie Dynamique-IPSL-CNRS, École Normale Supérieure, Paris, France; e-mail: rnguyen@lmd.ens.fr
² Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université d'Aix-Marseille, France

Abstract

We employ a Fourier-Galerkin method to solve the 2D incompressible Euler equations, and study several ways to regularize the solution by wavelet filtering at each timestep. Real-valued orthogonal wavelets and complex-valued wavelets are considered, combined with either linear or nonlinear filtering. The results are compared with those obtained via classical viscous and hyperviscous regularization methods. Wavelet regularization using complex-valued wavelets performs as well in terms of L² convergence rate to the reference solution. The compression rate for homogeneous 2D turbulence is around 3 for this method, suggesting that memory and CPU time could be reduced in an adaptive wavelet computation. Our results also suggest L² convergence to the reference solution without any regularization, in contrast to what is obtained for the 1D Burgers equation.

Résumé

Nous appliquons une méthode Fourier-Galerkin pour résoudre les équations d'Euler 2D incompressibles, et étudions plusieurs façons de régulariser la solution par filtrage en ondelettes à chaque pas de temps. Nous considérons des ondelettes orthogonales à valeurs réelles, ainsi que des ondelettes à valeurs complexes. utilisées pour effectuer soit un filtrage linéaire soit un filtrage non linéaire. Les résultats sont comparés à ceux obtenus par des méthodes classiques de régularisation visqueuse ou hypervisqueuse. Ils montrent que la régularisation par ondelettes complexes se comporte aussi bien en termes de taux de convergence L² vers la solution de référence. Le taux de compression pour la turbulence 2D homogène isotrope obtenu avec cette méthode est de l'ordre de 3, de sorte que l'espace mémoire et le temps de calcul nécessaires seraient inférieurs pour une simulation adaptative en ondelettes. Nos résultats suggèrent également que la convergence vers la solution de référence a lieu même sans aucune régularisation, contrairement à ce qui se produit pour l'équation de Burgers 1D.