Simulation of self-propelled chemotactic bacteria in a stokes flow^*

¹ Université Parie-Sud 11,Département de Mathématiques, Bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France
² Départment of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, Wilberforce Road, CB3 OWA, UK
³ Université Pierre & Marie Curie, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
⁴ INRIA Paris-Rocquencourt, BANG Project, Domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Rocquencourt, France

Abstract

We prescrit a method to simulate the motion of self-propelled rigid particles in a twodimensional Stokesian fluid, taking into account chemotactic behaviour. Self-propulsion is modelled as a point force associated to each particle, placed at a certain distance from its gravity centre. The method for solving the fluid flow and the motion of the bacteria is based on a variational formulation on the whole domain, including fluid and particles: rigid motion is enforced by penalizing the strain rate tensor on the rigid domain, while incompressibility is treated by duality. This leads to a minimisation problem over unconstrained functional spaces which cari lie easily implemented from any finite element Stokes solver. In order to ensure robustness, a projection algorithm is used to deal with contacts between particles. The particles are meant to represent bacteria of the Escherichia coli type, which interact with their chemical environment through consumption of nutrients and orientation in some favorable direction. Our mode’ takes into account the interaction with oxygen. An advection-diffusion equation on the oxygen concentration is solved in the fluid domain, with a source term accounting for oxygen consumption by the bacteria. In addition, self-propulsion is deactivated for those particles which cannot consume enough oxygen. Finally, the mode’ includes random changes in the orientation of the individual bacteria, with a frequency that depends on the surrounding oxygen concentration, in order to favor the direction of the concentration gradient and thus to reproduce chemotactic behaviour. Numerical simulations implemented with FreeFem++ are presented.

Résumé

Nous présentons une méthode de simulation du mouvement de particules rigides autopropulsées dans un fluide de Stokes en dimension 2. en prenant en compte leur comportement chimiotactique. L’auto-propulsion est modélisée par une force (presque) ponctuelle associée à chaque particule et placée à une certaine distance de son centre de gracité. La méthode de résolution de l’écoulement fluide et du mouvement des bactéries est basée sur une formulation variationnelle dans tout le domaine, incluant le fluide et les les particules : le mouvement rigide des particules est obtenu par pénalisation du tenseur de déformation sur le domaine rigide, alors que l’incompressibilité du fluide est traitée par dualité. Cela conduit à un problème de minimisation sur un espace fonctionnel non contraint qui peut étre facilement implanté à partir d’un solveur de Stokes de type Éléments Finis. Afin d’assurer la robustesse de la méthode, un algorithme de projection est utilisé afin de traiter le contact des particules rigides. Les particules sont supposées représenter des bactéries du type Escherichia coli, qui interagissent avec leur environnement chimique à travers la consommation de nutriments et l’orientation vers des directions favorables à cette consommation. Notre modèle prend en compte l’interaction avec l’oxygène : une équation d’advection-diffusion de la concentration d’oxygène est résolue dans le domaine, avec un terme source modélisant la consommation de l’oxygène par les bactéries. De plus, l’auto-propulsion est désactivée pour les bactéries qui ne consomment qu’une faible quantité d’oxygène. Finalement, le modèle inclut des changements de direction aléatoires de la part de chaque individu, avec une fréquence qui dépend de la concentration d’oxygène locale, afin de favoriser la direction du gradient de concentration et, ainsi, de reproduire le le comportement chimiotactique des bactéries. Des simulations numériques implantées avec FreeFem++ sont présentées.