Curve shortening by short rulers

TechnikerstraBe 13, A-6020 Innsbruck

Abstract

The aim is to construct a straight line between the two endpoints of a rectifiable curve using only a ruler, which is too short to connect them directly.

The short ruler allows it to construct a polygonal line along the curve. Consecutive midpoints of it can be connected by the short ruler. That produces a shorter polygonal line and if the shortening is iterated, the polygonal line converges to the straight line.

This short ruler method can be transported to cylinders. There, the ruler establishes short geodesics instead of straight lines. The produced sequence of curves converges to a geodesic which is homotopic to the original curve, but doesn’t have to be the shortest connection between the endpoints.

Résumé

L’objectif est de construire une ligne droite entre les points d’extrémité d’une courbe rectifiable en utilisant seulement une règle, qui est trop court pour les connecter directement.

La règle courte permet de construire une ligne polygonale au long de la courbe. Les points centraux consécutifs de celle-ci peuvent être reliés par la règle courte. Cela produit une ligne polygonale plus courte. Si le raccourcissement est itéré, la ligne polygonale converge vers une ligne droite.

Cette méthode de la règle courte peut être généralisée à des cylindres. Dans ce cas, la règle courte établit des géodésiques courtes. La séquence de courbes converge vers une géodésique qui est homotope à la courbe initiale, mais ne doit pas nécessairement être la plus courte entre les points d’extrémité.