Explicit equilibria in bilinear kinetic models for socio-economic interactions

¹ Department of Mathematics, University of Pavia, via Ferrata 1, Pavia, Italy.

Abstract

Bilinear kinetic models of Maxwell-Boltzmann type are often used to model socio-economic systems composed by agents that undergo binary interactions, which in general obey to some conservation law. Then, the details of the microscopic interaction are such that an equilibrium solution emerges. At difference with the classical Boltzmann equation for elastic gas particles, the analytic form of the equilibria is known only in some particular case. In the present note, we present and discuss the situations in which this equilibrium profile can be explicitly found. Applications to dissipative gases and to wealth redistribution models are presented.

Résumé

Des modèles cinétiques bilinéaire de type Maxwell-Boltzmann sont souvent utilisés pour modéliser des systèmes socio-économiques composées d’agents soumis à des interactions binaires. Ces modèles obéissent en général à une loi de conservation. Les détails microscopique de l’interaction conduisent le système vers un profil d’équilibre (une solution stationnaire). À la différence de l’équation de Boltzmann classique pour les particules de gaz élastiques, la forme analytique de la solution stationnaire n’est connue que dans certains cas particuliers. Dans cette note, nous présentons et discutons des situations pour lesquelles ce profil d’équilibre peut être trouvé explicitement. Des applications à des gaz dissipatifs et à des modèles de redistribution de richesse sont présentées.