Long time behavior of Markov processes and beyond^*

¹ Institut de Recherche Mathématique de Rennes (UMR 6625 CNRS), Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes Cedex, France.
² Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique (UMR CNRS 7350), Fédération Denis Poisson (FR CNRS 2964), Université François-Rabelais, Parc de Grandmont, 37200 Tours, France.
³ Institut de Mathématiques de Toulouse (UMR CNRS 5219), Université Paul Sabatier & INSA Toulouse, 135, av. de Rangueil, F-31077 Toulouse Cedex 4, France.
⁴ Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Roma Tor Vergata, Via della Ricerca Scientifica I - 00133 Roma, Italy.
⁵ Laboratoire de Physique (UMR CNRS 5672), École Normale Supérieure de Lyon, 46 allée d’Italie, Lyon, 69364, France.

Abstract

This note provides several recent progresses in the study of long time behavior of Markov processes. The examples presented below are related to other scientific fields as PDE’s, physics or biology. The involved mathematical tools as propagation of chaos, coupling, functional inequalities, provide a good picture of the classical methods that furnish quantitative rates of convergence to equilibrium.

Résumé

Cet article présente plusieurs progrés récents dans l’étude du comportement en temps long de certains processus de Markov. Les exemples présents ci-dessous sont motivés par différentes applications issues de la physique ou de la biologie. Les outils mathématiques employés, propagation du chaos, couplage, ingalités fonctionnelles, couvrent un large spectre des techniques disponibles pour obtenir des comportements en temps long quantitatifs.