Thin Structures With Imposed Metric

¹ University of Pittsburgh, Department of Mathematics, 301 Thackeray Hall, Pittsburgh, PA 15260, USA
² Laboratoire MAP5, Université Paris Descartes & CNRS, Sorbonne Paris Cité, France

Abstract

We consider thin structures with a non necessarily realizable imposed metric, that only depends on the surface variable. We give a unified presentation of the three main limit models. We establish the generalized membrane model and we show, by means of an algebraic proof, that the internal membrane energy vanishes on short maps of the metric restricted to the plane. We recall that a generalized bending model can occur only when this reduced metric admits sufficiently regular isometric immersions. When the entries R₁₂.. of the Riemannian curvature tensor are null, this bending energy can vanish; then the next model is necessarily a generalized von Kármán model whose minimum is zero if and only if the three-dimensional metric is flat.

Résumé

Nous considérons des structures fines à métrique imposée, dépendant des variables planaires, non nécessairement réalisable. Nous donnons une présentation synthétique des trois principaux modèles limites. Nous établissons un modèle de membrane généralisé et montrons que son énergie interne s’annule pour les déformations non expansives de la métrique restreinte au plan. Nous rappelons qu’un modèle de exion généralisé ne peut apparaître que si cette métrique réduite admet des immersions isométriques suffisamment régulières, et que, dès lors que les composantes R₁₂.. du tenseur de courbure sont nulles, l’énergie de exion peut s’annuler. Le modèle suivant est alors nécessairement un modèle de von Kármán généralisé dont le minimum est nul si et seulement si le tenseur de courbure est nul, c’est-à-dire si la métrique de départ est plate.