Initial Layer Analysis for a Linkage Density in Cell Adhesion Mechanisms^★

Laboratoire Analyse & Géométrie, Université Villeteuse Paris 13, France

Abstract

In this paper we present a non local age structured equation involved in cell motility modeling [5, 9, 11]. It describes the evolution of a density of linkages of a point submitted to adhesion. It depends on an asymptotic parameter ɛ representing the characteristic age of linkages. Here we introduce a new initial layer term in the asymptotic expansion with respect to ɛ. This improves error estimates obtained in [5]. Moreover, we study the convergence of the time derivative of this density and show how a singular term appears when ɛ goes to zero. We show convergence, in the tight topology of measures, to the time derivative of the limit solution and a Dirac mass supported on the initial half-axis. In order to illustrate these results, numerical simulations are performed and compared to the asymptotic expansion for various values of ɛ.

Résumé

Dans cet article, nous analysons un problème structuré en âge avec un terme non local de saturation. Ce problème apparait dans la modélisation de la motilité et des mécanismes d’adhérence cellulaires [5, 9, 11]. L’équation dépend d’un paramètre asymptotique ɛ représentant l’âge caractéristique des liaisons. Ici, nous introduisons un nouveau terme de couche initiale dans le développement asymptotique par rapport à ɛ. Ceci améliore les estimations d’erreur obtenues dans [5]. En outre, nous étudions la convergence de la dérivée en temps de la densité des liaisons et montrons comment un terme singulier apparait quand ɛ devient nul. Nous montrons la convergence, dans la topologie étroite des mesures, vers la somme de la dérivée temporelle de la solution limite et d’une masse de Dirac supportée par le demi-axe initial. Des simulations numériques sont effectuées pour diverses valeurs d’ɛ et comparées au développement asymptotique afin d’illustrer ces résultats théoriques.