Stochastic approximation schemes for economic capital and risk margin computations^*

¹ Centre de Mathématiques Appliqués (CMAP), Ecole Polytechnique and CNRS, Université Paris-Saclay, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex, France
e-mail: david.barrera@polytechnique.edu & emmanuel.gobet@polytechnique.edu & uladzislau.stazhynski@polytechnique.edu
² LaMME, Univ. Evry, CNRS, Université Paris-Saclay, 91037, Evry, France
e-mail: stephane.crepey@univ-evry.fr
³ Quantitative Research GMD/GMT Crédit Agricole CIB, 92160 Montrouge, France
e-mail: babacar.diallo@ca-cib.com
⁴ CNRS, Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT), 31062 Toulouse Cedex 9, France
e-mail: Gersende.Fort@math.univ-toulouse.fr

Abstract

We consider the problem of the numerical computation of its economic capital by an insurance or a bank, in the form of a value-at-risk or expected shortfall of its loss over a given time horizon. This loss includes the appreciation of the mark-to-model of the liabilities of the firm, which we account for by nested Monte Carlo à la Gordy and Juneja [17] or by regression à la Broadie, Du, and Moallemi [10]. Using a stochastic approximation point of view on value-at-risk and expected shortfall, we establish the convergence of the resulting economic capital simulation schemes, under mild assumptions that only bear on the theoretical limiting problem at hand, as opposed to assumptions on the approximating problems in [17] and [10]. Our economic capital estimates can then be made conditional in a Markov framework and integrated in an outer Monte Carlo simulation to yield the risk margin of the firm, corresponding to a market value margin (MVM) in insurance or to a capital valuation adjustment (KVA) in banking parlance. This is illustrated numerically by a KVA case study implemented on GPUs.

Résumé

Nous considérons le problème pour une assurance, ou une banque, du calcul numérique de son capital économique sous forme d’une “value-at-risk”, ou d’une “expected shortfall”, de sa perte sur un horizon de temps donné. Cette perte inclut l’appréciation du modèle d’évaluation du passif de l’entité, que nous estimons par un Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja [17] ou par une régression à la Broadie, Du, et Moallemi [10]. En utilisant une approche d’approximation stochastique sur la value-at-risk, ou l’expected shortfall nous établissons la convergence des schémas résultants de la simulation du capital économique, sous des hypothèses modérés ne portant que sur le problème de limite théorique, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d’approximation dans [17] et [10]. Nos estimations de capital économique peuvent ensuite être conditionnés dans un cadre de Markov et intégrés dans une simulation de Monte Carlo externe afin de générer la marge de risque de l’entité, correspondant à une “market value margin” (MVM) en assurance ou à un “capital valuation adjustment” (KVA) dans le langage bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas KVA mise en oeuvre sur des GPU.