Numerical approximation of general Lipschitz BSDEs with branching processes

¹ Université Paris-Dauphine, PSL University, CNRS, UMR [7534], CEREMADE, 75016 PARIS, FRANCE
e-mail: bouchard@ceremade.dauphine.fr
² Université Paris-Dauphine, PSL University, CNRS, UMR [7534], CEREMADE, 75016 PARIS, FRANCE
e-mail: tan@ceremade.dauphine.fr
³ EDF R&D & FiME, Laboratoire de Finance des Marchés de l’Energie
e-mail: warin@edf.fr

Abstract

We extend the branching process based numerical algorithm of Bouchard et al. [3], that is dedicated to semilinear PDEs (or BSDEs) with Lipschitz nonlinearity, to the case where the nonlinearity involves the gradient of the solution. As in [3], this requires a localization procedure that uses a priori estimates on the true solution, so as to ensure the well-posedness of the involved Picard iteration scheme, and the global convergence of the algorithm. When, the nonlinearity depends on the gradient, the later needs to be controlled as well. This is done by using a face-lifting procedure. Convergence of our algorithm is proved without any limitation on the time horizon. We also provide numerical simulations to illustrate the performance of the algorithm.

Résumé

Nous étendons la méthode des processus de branchement de Bouchard et al. [3] dans le cas des équations semi-linéaires à non linéarités Lipschitz et dépendant du gradient de la solution. Comme dans [3], une procédure de localisation utilisant des estimations a priori sur la vraie solution permet assurer que l’algorithme de résolution par itérations de Picard est bien posé et convergent. Quand la non linéarité dépend du gradient une technique de face-lifting est utilisé. La convergence de l’algorithme donné est démontré sans limite sur la maturité du problème. Des simulations numériques illustrent les performances de l’algorithme.