On the implementation of a primal-dual algorithm for second order time-dependent Mean Field Games with local couplings

¹ Universidad Técnica Federico Santa María, Departamento de Matemática, Av. Vicuña Mackenna 3939, San Joaquín, Santiago, Chile
e-mail: luis.briceno@usm.cl
² Department of Mathematics, Imperial College London, South Kensington Campus, London SW7 2AZ, United Kindgom
e-mail: dkaliseb@ic.ac.uk
³ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Univ. Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, UMR 7598, UPMC, CNRS, 75205, Paris, France
e-mail: zkobeissi@math.univ-paris-diderot.fr
⁴ ORFE, Princeton University, Princeton, NJ 08540, USA
e-mail: lauriere@princeton.edu
⁵ Institut Montpellliérain Alexander Grothendieck (IMAG), UMR CNRS 5149, Université de Montpellier, 34090 Montpellier, France, and Institut des Sciences de l'Évolution de Montpellier (ISEM), UMR CNRS 5554, Université de Montpellier, 34095 Montpellier, France MISTEA, UMR CNRS 0729, INRA and SupAgro Montpellier, 34060 Montpellier, France
e-mail: alvaro.mateos-gonzalez@umontpellier.fr
⁶ Toulouse School of Economics, Université de Toulouse I Capitole, 31015 Toulouse, France and Institut de recherche XLIMDMI, UMR-CNRS 7252 Faculté des sciences et techniques Université de Limoges, 87060 Limoges, France
e-mail: francisco.silva@unilim.fr

Abstract

We study a numerical approximation of a time-dependent Mean Field Game (MFG) system with local couplings. The discretization we consider stems from a variational approach described in [14] for the stationary problem and leads to the finite difference scheme introduced by Achdou and Capuzzo-Dolcetta in [3]. In order to solve the finite dimensional variational problems, in [14] the authors implement the primal-dual algorithm introduced by Chambolle and Pock in [20], whose core consists in iteratively solving linear systems and applying a proximity operator. We apply that method to time-dependent MFG and, for large viscosity parameters, we improve the linear system solution by replacing the direct approach used in [14] by suitable preconditioned iterative algorithms.

Résumé

Nous étudions une approche numérique pour un système de jeu à champ moyen avec couplage local. La discrétisation que nous considérons résulte d’une approche variationnelle décrite, pour le problème stationnaire, dans [14] et mène au schéma aux differences finies introduit par Achdou et Capuzzo-Dolcetta dans [3]. Dans le but de résoudre des problèmes variationnels en dimension finie, dans [14] les auteurs implémentent un algorithme primal-dual introduit par Chambolle et Pock dans [20], dont l’essence consiste à résoudre itérativement des systèmes linéaires et à appliquer un opérateur proximal. Nous appliquons cette méthode à un jeu à champ moyen dépendant du temps et, lorsque le paramètre de viscosité est assez grand, nous améliorons la résolution du système linéaire en remplaçant l’approche directe utilisé dans [14] par des algorithmes itératifs préconditionnés.