Influence of the mode of reproduction on dispersal evolution during species invasion

¹ Unité de Mathḿatiques Pures et Applications (UMPA), Ecole Normale Supérieure de Lyon, France
e-mail: vincent.calvez@ens-lyon.fr
² Institut de Mathématiques de Toulouse; UMR5219, Université de Toulouse; UPS IMT, F-31062 Toulouse Cedex 9 France
e-mail: joachim.crevat@math.univ-toulouse.fr
³ École Normale Supérieure de Lyon
e-mail: leonard.dekens@ens-lyon.fr
⁴ Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1 in Lyon
e-mail: fabreges@math.univ-lyon1.fr
⁵ Laboratoire de Mathématiques et de Physique Théorique de Tours
e-mail: frederic.kuczma@lmpt.univ-tours.fr
⁶ BioSP, INRA, 84914, Avignon, France
e-mail: florian.lavigne@inra.fr
⁷ Aix Marseille Univ, CNRS, Centrale Marseille, I2M, Marseille, France
⁸ Centre de Mathématiques Appliquées, École Polytechnique, Palaiseau
e-mail: gael.raoul@cmap.polytechnique.fr

Abstract

We consider a reaction-diffusion-reproduction equation, modeling a population which is spatially heterogeneous. The dispersion of each individuals is influenced by its phenotype. In the literature, the asymptotic propagation speed of an asexual population has already been rigorously determined. In this paper we focus on the difference between the asexual reproduction case, and the sexual reproduction case, involving a non-local term modeling the reproduction. This comparison leads to a different invasion speed according to the reproduction.

After a formal analysis of both cases, leading to a heuristic of the asymptotic behaviour of the invasion fronts, we give some numerical evidence that the acceleration rate of the spatial spreading of a sexual population is slower than the acceleration rate of an asexual one. The main difficulty to get sharper results on a transient comes from the non-local sexual reproduction term.

Résumé

Nous nous intéressons à un modèle de réaction-diffusion-reproduction d’une population, répartie de manière hétérogène. Le phénotype de chaque individu caractérise sa dispersion. Dans la littérature, la vitesse asymptotique de propagation d’une population asexuée a déjà été rigoureusement déterminée. Dans cet article, nous comparerons la dispersion d’une population asexuée, avec celle d’une population sexuée, ce qui introduit un terme non-local modélisant la reproduction.

Après une étude formelle des deux modes de reproduction, qui nous amènera vers une heuristique du comportement asymptotique du front d’invasion, nous effectuons des simulations numériques, montrant que la vitesse d’accélération d’une population sexuée est plus faible que celle d’une population asexuée. La principale difficulté pour obtenir des résultats, sur le régime transitoire, vient du terme non local modélisant la reproduction sexuée.